حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d x}{d y} = \frac{y^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{d y} = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{d y} = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{d y} = y^{2}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x = y^{2} d y$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\int \sqrt{{(1 - x^{2})}^{1}} d x = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.2

لنفترض أن $x = \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\cos (t)$ موجبة.

$\int \sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{1}} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بسّط $\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.1

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \sqrt{{(\cos^{2} (t))}^{1}} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.3.1.2

اضرب الأُسس في ${(\cos^{2} (t))}^{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{{\cos (t)}^{2 \cdot 1}} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.3.1.2.2

اضرب $2$ في $1$ .

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.3.1.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \cos (t) \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.3.2.2

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.3.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.3.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$\int \cos^{2} (t) d t = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.4

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (t)$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t) = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.7

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \int \cos (2 t) d t) = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.8

لنفترض أن $u = 2 t$ . إذن $d u = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.1

افترض أن $u = 2 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.1.1

أوجِد مشتقة $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 2.2.8.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 2.2.8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 2.2.8.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 2.2.8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.9

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u) = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.10

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u) = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.11

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})) = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.12

بسّط.

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.13

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.13.1

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.13.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.13.3

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C_{3} = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.14.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (2 \arcsin (x))$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C_{3} = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.14.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C_{3} = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.14.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\arcsin (x)$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C_{3} = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.14.4

اضرب $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.14.4.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.14.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C_{3} = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.15

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C_{3} = \frac{1}{3} y^{3} + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) = \frac{1}{3} y^{3} + K$