حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = (1 + y^{2}) \tan (x)$ , $y (0) = \sqrt{3}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \tan (x))$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $1 + y^{2}$ من $(1 + y^{2}) \tan (x)$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (\tan (x)))$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \tan (x))$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \tan (x)$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \tan (x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \tan (x) d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \tan (x) d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \tan (x) d x$

خطوة 2.3

تكامل $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\arctan (y) = \ln (| \sec (x) |) + C$

خطوة 3

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الظل.

$y = \tan (\ln (| \sec (x) |) + C)$

خطوة 4

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $\sqrt{3}$ عن $y$ في $y = \tan (\ln (| \sec (x) |) + C)$ .

$\sqrt{3} = \tan (\ln (| \sec (0) |) + C)$

خطوة 5

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\tan (\ln (| \sec (0) |) + C) = \sqrt{3}$ .

$\tan (\ln (| \sec (0) |) + C) = \sqrt{3}$

خطوة 5.2

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $C$ من داخل المماس.

$| \sec (0) | = \arctan (\sqrt{3})$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط $| \sec (0) |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$| 1 | = \arctan (\sqrt{3})$

خطوة 5.3.1.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$1 = \arctan (\sqrt{3})$

خطوة 5.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (\sqrt{3})$ هي $\frac{π}{3}$ .

$1 = \frac{π}{3}$

خطوة 5.5

اقسِم $3.14159265$ على $3$ .

$1 = 1.04719755$

خطوة 5.6

بما أن $1 \neq 1.04719755$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 5.7

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$1 = π + \frac{π}{3}$

خطوة 5.8

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

بسّط $(3.14159265) + \frac{3.14159265}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1.1

اقسِم $3.14159265$ على $3$ .

$1 = 3.14159265 + 1.04719755$

خطوة 5.8.1.2

أضف $3.14159265$ و $1.04719755$ .

$1 = 4.1887902$

خطوة 5.8.2

بما أن $1 \neq 4.1887902$ ، إذن لا توجد حلول.

$لا يوجد حل$