حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d Q}{d t} + \frac{2}{10 + 2 t} Q = 4$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (t) d t}$ ، حيث $P (t) = \frac{2}{10 + 2 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{2}{10 + 2 t} d t}$

خطوة 1.2

أوجِد تكامل $\frac{2}{10 + 2 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $10 + 2 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$e^{\int \frac{2 \cdot 1}{10 + 2 t} d t}$

خطوة 1.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$e^{\int \frac{2 \cdot 1}{2 (5) + 2 t} d t}$

خطوة 1.2.1.2.2

أخرِج العامل $2$ من $2 t$ .

$e^{\int \frac{2 \cdot 1}{2 (5) + 2 (t)} d t}$

خطوة 1.2.1.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (5) + 2 (t)$ .

$e^{\int \frac{2 \cdot 1}{2 (5 + t)} d t}$

خطوة 1.2.1.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\int \frac{2 \cdot 1}{2 (5 + t)} d t}$

خطوة 1.2.1.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$e^{\int \frac{1}{5 + t} d t}$

خطوة 1.2.2

لنفترض أن $u = 5 + t$ . إذن $d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

افترض أن $u = 5 + t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $5 + t$ .

$\frac{d}{d t} [5 + t]$

خطوة 1.2.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 + t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 1.2.2.1.3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 1.2.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 1.2.2.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 1.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 1.2.3

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$e^{\ln (| u |) + C}$

خطوة 1.2.4

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 + t$ .

$e^{\ln (| 5 + t |) + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{\ln (5 + t)}$

خطوة 1.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$5 + t$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $5 + t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $5 + t$ .

$(5 + t) \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{2}{10 + 2 t} Q) = (5 + t) \cdot 4$

خطوة 2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{2}{10 + 2 t} Q) = (5 + t) \cdot 4$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل $2$ من $10 + 2 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{2}{2 \cdot 5 + 2 t} Q) = (5 + t) \cdot 4$

خطوة 2.2.2.2

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 5 + 2 t$ .

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{2}{2 (5 + t)} Q) = (5 + t) \cdot 4$

خطوة 2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{2}{2 (5 + t)} Q) = (5 + t) \cdot 4$

خطوة 2.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{1}{5 + t} Q) = (5 + t) \cdot 4$

خطوة 2.2.4

اجمع $\frac{1}{5 + t}$ و $Q$ .

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) \frac{Q}{5 + t} = (5 + t) \cdot 4$

خطوة 2.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $5 + t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) \frac{Q}{5 + t} = (5 + t) \cdot 4$

خطوة 2.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + Q = (5 + t) \cdot 4$

خطوة 2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + Q = 5 \cdot 4 + t \cdot 4$

خطوة 2.4

اضرب $5$ في $4$ .

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + Q = 20 + t \cdot 4$

خطوة 2.5

انقُل $4$ إلى يسار $t$ .

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + Q = 20 + 4 t$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d t} [(5 + t) Q] = 20 + 4 t$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d t} [(5 + t) Q] d t = \int 20 + 4 t d t$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$(5 + t) Q = \int 20 + 4 t d t$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$(5 + t) Q = \int 20 d t + \int 4 t d t$

خطوة 6.2

طبّق قاعدة الثابت.

$(5 + t) Q = 20 t + C + \int 4 t d t$

خطوة 6.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$(5 + t) Q = 20 t + C + 4 \int t d t$

خطوة 6.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$(5 + t) Q = 20 t + C + 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$

خطوة 6.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

بسّط.

$(5 + t) Q = 20 t + 4 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$

خطوة 6.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{2}$ .

$(5 + t) Q = 20 t + \frac{4}{2} t^{2} + C$

خطوة 6.5.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$(5 + t) Q = 20 t + \frac{2 \cdot 2}{2} t^{2} + C$

خطوة 6.5.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$(5 + t) Q = 20 t + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} t^{2} + C$

خطوة 6.5.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$(5 + t) Q = 20 t + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} t^{2} + C$

خطوة 6.5.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$(5 + t) Q = 20 t + \frac{2}{1} t^{2} + C$

خطوة 6.5.2.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$(5 + t) Q = 20 t + 2 t^{2} + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $(5 + t) Q = 20 t + 2 t^{2} + C$ على $5 + t$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $(5 + t) Q = 20 t + 2 t^{2} + C$ على $5 + t$ .

$\frac{(5 + t) Q}{5 + t} = \frac{20 t}{5 + t} + \frac{2 t^{2}}{5 + t} + \frac{C}{5 + t}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5 + t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(5 + t) Q}{5 + t} = \frac{20 t}{5 + t} + \frac{2 t^{2}}{5 + t} + \frac{C}{5 + t}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $Q$ على $1$ .

$Q = \frac{20 t}{5 + t} + \frac{2 t^{2}}{5 + t} + \frac{C}{5 + t}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$Q = \frac{20 t + 2 t^{2}}{5 + t} + \frac{C}{5 + t}$

خطوة 7.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$Q = \frac{20 t + 2 t^{2} + C}{5 + t}$