حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} + t y = y$ , $y (1) = 3$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $t y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d t} = y - t y$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $y$ من $y - t y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d t} = y^{1} - t y$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل $y$ من $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d t} = y \cdot 1 - t y$

خطوة 1.2.3

أخرِج العامل $y$ من $- t y$ .

$\frac{d y}{d t} = y \cdot 1 + y (- t)$

خطوة 1.2.4

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot 1 + y (- t)$ .

$\frac{d y}{d t} = y (1 - t)$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (1 - t))$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (1 - t))$

خطوة 1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = 1 - t$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = (1 - t) d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 - t d t$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - t d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d t + \int - t d t$

خطوة 2.3.2

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| y |) + C_{1} = t + C_{2} + \int - t d t$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = t + C_{2} - \int t d t$

خطوة 2.3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = t + C_{2} - (\frac{1}{2} t^{2} + C_{3})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = t - \frac{1}{2} t^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.6

أعِد ترتيب الحدود.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} t^{2} + t + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} t^{2} + t + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} t^{2} + t + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C} = | y |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C}$

خطوة 3.3.2

اجمع $t^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$| y | = e^{- \frac{t^{2}}{2} + t + C}$

خطوة 3.3.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} + t + C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t + C}$ بالصيغة $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} + t} e^{C}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$

خطوة 5

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $1$ عن $t$ وبـ $3$ عن $y$ في $y = C e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ .

$3 = C e^{- \frac{1^{2}}{2} + 1}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $C e^{- \frac{1^{2}}{2} + 1} = 3$ .

$C e^{- \frac{1^{2}}{2} + 1} = 3$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$C e^{- \frac{1}{2} + 1} = 3$

خطوة 6.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$C e^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} = 3$

خطوة 6.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$C e^{\frac{- 1 + 2}{2}} = 3$

خطوة 6.2.4

أضف $- 1$ و $2$ .

$C e^{\frac{1}{2}} = 3$

خطوة 6.3

اقسِم كل حد في $C e^{\frac{1}{2}} = 3$ على $e^{\frac{1}{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اقسِم كل حد في $C e^{\frac{1}{2}} = 3$ على $e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{C e^{\frac{1}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{C e^{\frac{1}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3.2.2

اقسِم $C$ على $1$ .

$C = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7

عوّض بـ $\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ عن $C$ في $y = C e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}} e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ و $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ .

$y = \frac{3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}}{e^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.3

أخرِج العامل $e^{\frac{1}{2}}$ من $3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ .

$y = \frac{e^{\frac{1}{2}} (3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}})}{e^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اضرب في $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{1}{2}} (3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}})}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 1}$

خطوة 7.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{e^{\frac{1}{2}} (3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}})}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 1}$

خطوة 7.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}}}{1}$

خطوة 7.4.4

اقسِم $3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}}$ على $1$ .

$y = 3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}}$