حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{x} \frac{d y}{d x} + 3 y = x^{2} y$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x} \frac{d y}{d x} + 3 y$ .

$\frac{d y}{d x} e^{x} + 3 y = x^{2} y$

خطوة 1.1.2

اطرح $3 y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} e^{x} = x^{2} y - 3 y$

خطوة 1.1.3

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} e^{x} = x^{2} y - 3 y$ على $e^{x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} e^{x} = x^{2} y - 3 y$ على $e^{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{x}}{e^{x}} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} + \frac{- 3 y}{e^{x}}$

خطوة 1.1.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{x}}{e^{x}} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} + \frac{- 3 y}{e^{x}}$

خطوة 1.1.3.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} + \frac{- 3 y}{e^{x}}$

خطوة 1.1.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} - \frac{3 y}{e^{x}}$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y - 3 y}{e^{x}}$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل $y$ من $x^{2} y - 3 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل $y$ من $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} - 3 y}{e^{x}}$

خطوة 1.2.2.2

أخرِج العامل $y$ من $- 3 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} + y \cdot - 3}{e^{x}}$

خطوة 1.2.2.3

أخرِج العامل $y$ من $y x^{2} + y \cdot - 3$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 3)}{e^{x}}$

خطوة 1.3

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} - 3}{e^{x}}$

خطوة 1.4

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{2} - 3}{e^{x}})$

خطوة 1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{2} - 3}{e^{x}})$

خطوة 1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 3}{e^{x}}$

خطوة 1.6

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2} - 3}{e^{x}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x^{2} - 3}{e^{x}} d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} - 3}{e^{x}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

اعكِس علامة أُس $e^{x}$ وأخرِجها من القاسم.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) {(e^{x})}^{- 1} d x$

خطوة 2.3.1.2

اضرب الأُسس في ${(e^{x})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) e^{x \cdot - 1} d x$

خطوة 2.3.1.2.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) e^{- 1 \cdot x} d x$

خطوة 2.3.1.2.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) e^{- x} d x$

خطوة 2.3.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x^{2} - 3$ و $d v = e^{- x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x$

خطوة 2.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x)$

خطوة 2.3.5

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x$

خطوة 2.3.6

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{- x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

خطوة 2.3.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

خطوة 2.3.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

خطوة 2.3.8.2

اضرب $\int e^{- x} d x$ في $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

خطوة 2.3.9

لنفترض أن $u = - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.9.1

افترض أن $u = - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.9.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.3.9.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.9.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.9.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 2.3.9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

خطوة 2.3.10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

خطوة 2.3.11

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

خطوة 2.3.12

أعِد كتابة $(x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ بالصيغة $- x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C_{2}$

خطوة 2.3.13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C_{2}$

خطوة 2.3.14

أعِد ترتيب الحدود.

$\ln (| y |) + C_{1} = - e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = - e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| y |) = - e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C} = | y |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$ .

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$

خطوة 3.3.2

بسّط $e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C}$

خطوة 3.3.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (- x e^{- x}) + 2 (- e^{- x}) + C}$

خطوة 3.3.2.1.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} - 2 (x e^{- x}) + 2 (- e^{- x}) + C}$

خطوة 3.3.2.1.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + C}$

خطوة 3.3.2.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

اطرح $2 e^{- x}$ من $3 e^{- x}$ .

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$

خطوة 3.3.2.2.2

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- e^{- x} x^{2} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$ .

$| y | = e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$

خطوة 3.3.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$ بالصيغة $e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}} e^{C}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}}$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}}$