حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sin (x)}{y}$ , $y (0) = - 1$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \sin (x)}{y}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \sin (x)}{y}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d x} = x \sin (x)$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = x \sin (x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int x \sin (x) d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x \sin (x) d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

خطوة 2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

خطوة 2.3.3.2

اضرب $\int \cos (x) d x$ في $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

خطوة 2.3.4

تكامل $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2}$

خطوة 2.3.5

أعِد كتابة $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2}$ بالصيغة $- x \cos (x) + \sin (x) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x \cos (x) + \sin (x) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - x \cos (x) + \sin (x) + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 (- x \cos (x)) + 2 \sin (x) + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y^{2} = - 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{- 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 K}$

خطوة 3.4

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x \cos (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x)) + 2 \sin (x) + 2 K}$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل $2$ من $2 \sin (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x)) + 2 (\sin (x)) + 2 K}$

خطوة 3.4.3

أخرِج العامل $2$ من $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x)) + 2 (\sin (x)) + 2 K}$

خطوة 3.4.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x \cos (x)) + 2 (\sin (x))$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x)) + 2 K}$

خطوة 3.4.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x \cos (x) + \sin (x)) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

خطوة 3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

خطوة 3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

خطوة 3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

خطوة 4

بما أن $y$ يساوي قيمة سالبة في الشرط الابتدائي $(0, - 1)$ ، انظر فقط $y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$ لإيجاد $K$ . وعوّض بـ $0$ عن $x$ وبـ $- 1$ عن $y$ .

$- 1 = - \sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)} = - 1$ .

$- \sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)} = - 1$

خطوة 5.2

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${(- \sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

خطوة 5.3

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)}$ في صورة ${(2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

بسّط ${(- {(2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

${(- {(2 (0 \cdot 1 + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.1.2

اضرب $0$ في $1$ .

${(- {(2 (0 + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

${(- {(2 (0 + 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.2.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $0 + 0 + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.2.1.1

أضف $0$ و $0$ .

${(- {(2 (0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.2.1.2

أضف $0$ و $K$ .

${(- {(2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $2 K$ .

${(- (2^{\frac{1}{2}} K^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(- 1)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.3

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.3.1

طبّق قاعدة الضرب على $- 2^{\frac{1}{2}} K^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.3.2

طبّق قاعدة الضرب على $- 2^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$1 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.5

اضرب ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ في $1$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.6

اضرب الأُسس في ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.6.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$2^{1} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.7

احسِب قيمة الأُس.

$2 {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.8

اضرب الأُسس في ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.8.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.8.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.8.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.8.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 K^{1} = {(- 1)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.9

بسّط.

$2 K = {(- 1)}^{2}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$2 K = 1$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $2 K = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $2 K = 1$ على $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 K}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 5.4.2.1.2

اقسِم $K$ على $1$ .

$K = \frac{1}{2}$

خطوة 6

عوّض بـ $\frac{1}{2}$ عن $K$ في $y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $\frac{1}{2}$ .

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + \frac{1}{2})}$