حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x - 1) d x - (x e^{y} + e^{y}) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 1]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

خطوة 1.3

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 1]$

خطوة 1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0$

خطوة 1.5

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = - (x e^{y} + e^{y})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x e^{y} + e^{y})]$

خطوة 2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- (x e^{y} + e^{y})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x e^{y} + e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x e^{y} + e^{y}]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x e^{y} + e^{y}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [e^{y}])$

خطوة 2.4

بما أن $e^{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x e^{y}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}])$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{y}])$

خطوة 2.6

اضرب $e^{y}$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (e^{y} + \frac{d}{d x} [e^{y}])$

خطوة 2.7

بما أن $e^{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $e^{y}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (e^{y} + 0)$

خطوة 2.8

أضف $e^{y}$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - e^{y}$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $0$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- e^{y}$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = - e^{y}$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$0 = - e^{y}$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $- e^{y}$ .

$\frac{0 - - e^{y}}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $- (x e^{y} + e^{y})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $- (x e^{y} + e^{y})$ .

$\frac{0 - - e^{y}}{- (x e^{y} + e^{y})}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اضرب $- - e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{0 + 1 e^{y}}{- (x e^{y} + e^{y})}$

خطوة 4.3.2.1.2

اضرب $e^{y}$ في $1$ .

$\frac{0 + e^{y}}{- (x e^{y} + e^{y})}$

خطوة 4.3.2.2

أضف $0$ و $e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{- (x e^{y} + e^{y})}$

خطوة 4.3.3

أخرِج العامل $e^{y}$ من $x e^{y} + e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $e^{y}$ من $x e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{- (e^{y} x + e^{y})}$

خطوة 4.3.3.2

اضرب في $1$ .

$\frac{e^{y}}{- (e^{y} x + e^{y} \cdot 1)}$

خطوة 4.3.3.3

أخرِج العامل $e^{y}$ من $e^{y} x + e^{y} \cdot 1$ .

$\frac{e^{y}}{- (e^{y} (x + 1))}$

$\frac{e^{y}}{- e^{y} (x + 1)}$

خطوة 4.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{y}}{- e^{y} (x + 1)}$

خطوة 4.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{- 1 (x + 1)}$

خطوة 4.3.5

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- 1 (x + 1)}$

خطوة 4.3.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{x + 1}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x + 1} d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{1}{x + 1} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x + 1} d x}$

خطوة 5.2

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 5.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.2.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 5.2.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 5.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 5.3

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

خطوة 5.4

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

خطوة 5.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x + 1 |)} + C$

خطوة 5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $- \ln (| x + 1 |)$ بنقل $- 1$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x + 1 |}^{- 1})} + C$

خطوة 5.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| x + 1 |}^{- 1} + C$

خطوة 5.6.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x + 1 |} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(x - 1) d x - (x e^{y} + e^{y}) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $x - 1$ في $\frac{1}{x + 1}$ .

$(x - 1) \frac{1}{x + 1} d x - (x e^{y} + e^{y}) d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $x - 1$ في $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x - (x e^{y} + e^{y}) d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $- (x e^{y} + e^{y})$ في $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x - (x e^{y} + e^{y}) \frac{1}{x + 1} d y = 0$

خطوة 6.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + (- (x e^{y}) - e^{y}) \frac{1}{x + 1} d y = 0$

خطوة 6.5

اضرب $- x e^{y} - e^{y}$ في $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{- x e^{y} - e^{y}}{x + 1} d y = 0$

خطوة 6.6

أخرِج العامل $e^{y}$ من $- x e^{y} - e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

أخرِج العامل $e^{y}$ من $- x e^{y}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- x) - e^{y}}{x + 1} d y = 0$

خطوة 6.6.2

أخرِج العامل $e^{y}$ من $- e^{y}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- x) + e^{y} \cdot - 1}{x + 1} d y = 0$

خطوة 6.6.3

أخرِج العامل $e^{y}$ من $e^{y} (- x) + e^{y} \cdot - 1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- x - 1)}{x + 1} d y = 0$

خطوة 6.7

احذِف العامل المشترك لـ $- x - 1$ و $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- (x) - 1)}{x + 1} d y = 0$

خطوة 6.7.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- (x) - 1 (1))}{x + 1} d y = 0$

خطوة 6.7.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- (x + 1))}{x + 1} d y = 0$

خطوة 6.7.4

أعِد كتابة $- (x + 1)$ بالصيغة $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- 1 (x + 1))}{x + 1} d y = 0$

خطوة 6.7.5

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- 1 (x + 1))}{x + 1} d y = 0$

خطوة 6.7.6

اقسِم $e^{y} \cdot (- 1)$ على $1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + e^{y} \cdot (- 1) d y = 0$

خطوة 6.8

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{y}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x - 1 \cdot e^{y} d y = 0$

خطوة 6.9

أعِد كتابة $- 1 e^{y}$ بالصيغة $- e^{y}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x - e^{y} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - e^{y} d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = - e^{y}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$f (x, y) = - \int e^{y} d y$

خطوة 8.2

تكامل $e^{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $e^{y}$ .

$f (x, y) = - (e^{y} + C)$

خطوة 8.3

بسّط.

$f (x, y) = - e^{y} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = - e^{y} + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x - 1}{x + 1}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{y} + g (x)] = \frac{x - 1}{x + 1}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- e^{y} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 1}{x + 1}$

خطوة 11.3

بما أن $- e^{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- e^{y}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 1}{x + 1}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x - 1}{x + 1}$

خطوة 11.5

أضف $0$ و $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x - 1}{x + 1}$

خطوة 12

أوجِد المشتق العكسي لـ $\frac{x - 1}{x + 1}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = \frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{x - 1}{x + 1} d x$

خطوة 12.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{x - 1}{x + 1} d x$

خطوة 12.3

اقسِم $x - 1$ على $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x$

$1$

خطوة 12.3.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	-	$1$

خطوة 12.3.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	-	$1$
			+	$x$	+	$1$

خطوة 12.3.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$1$

خطوة 12.3.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$1$
					-	$2$

خطوة 12.3.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$g (x) = \int 1 - \frac{2}{x + 1} d x$

خطوة 12.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$g (x) = \int d x + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

خطوة 12.5

طبّق قاعدة الثابت.

$g (x) = x + C + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

خطوة 12.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (x) = x + C - \int \frac{2}{x + 1} d x$

خطوة 12.7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$g (x) = x + C - (2 \int \frac{1}{x + 1} d x)$

خطوة 12.8

اضرب $2$ في $- 1$ .

$g (x) = x + C - 2 \int \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 12.9

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.9.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.9.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 12.9.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 12.9.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 12.9.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 12.9.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 12.9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$g (x) = x + C - 2 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 12.10

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$g (x) = x + C - 2 (\ln (| u |) + C)$

خطوة 12.11

بسّط.

$g (x) = x - 2 \ln (| u |) + C$

خطوة 12.12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$g (x) = x - 2 \ln (| x + 1 |) + C$

خطوة 13

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = - e^{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = - e^{y} + x - 2 \ln (| x + 1 |) + C$

خطوة 14

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط $- 2 \ln (| x + 1 |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$f (x, y) = - e^{y} + x - \ln ({| x + 1 |}^{2}) + C$

خطوة 14.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| x + 1 |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$f (x, y) = - e^{y} + x - \ln ({(x + 1)}^{2}) + C$