حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(2 x y - y) d x + (x^{2} + x) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 2 x y - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - y]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x y - y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 1 \cdot 1$

خطوة 1.4.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 1$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x^{2} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 1$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $2 x - 1$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 x + 1$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x - 1 = 2 x + 1$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$2 x - 1 = 2 x + 1$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $2 x - 1$ .

$\frac{2 x - 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $2 x + 1$ .

$\frac{2 x - 1 - (2 x + 1)}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x^{2} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x^{2} + x$ .

$\frac{2 x - 1 - (2 x + 1)}{x^{2} + x}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x - 1 - (2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2} + x}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 x - 1 \cdot 1}{x^{2} + x}$

خطوة 4.3.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 x - 1}{x^{2} + x}$

خطوة 4.3.2.4

اطرح $2 x$ من $2 x$ .

$\frac{0 - 1 - 1}{x^{2} + x}$

خطوة 4.3.2.5

اطرح $1$ من $0$ .

$\frac{- 1 - 1}{x^{2} + x}$

خطوة 4.3.2.6

اطرح $1$ من $- 1$ .

$\frac{- 2}{x^{2} + x}$

خطوة 4.3.3

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{- 2}{x \cdot x + x}$

خطوة 4.3.3.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 2}{x \cdot x + x^{1}}$

خطوة 4.3.3.3

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{- 2}{x \cdot x + x \cdot 1}$

خطوة 4.3.3.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{- 2}{x (x + 1)}$

خطوة 4.3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{x (x + 1)}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x (x + 1)} d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{2}{x (x + 1)} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x (x + 1)} d x}$

خطوة 5.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x (x + 1)} d x)}$

خطوة 5.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x (x + 1)} d x}$

خطوة 5.4

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

خطوة 5.4.1.2

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $x (x + 1)$ .

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 5.4.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 5.4.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 5.4.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 5.4.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 5.4.1.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.5.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.5.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 5.4.1.5.1.2

اقسِم $A (x + 1)$ على $1$ .

$1 = A (x + 1) + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 5.4.1.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 5.4.1.5.3

اضرب $A$ في $1$ .

$1 = A x + A + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 5.4.1.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = A x + A + \frac{B (x (x + 1))}{x + 1}$

خطوة 5.4.1.5.4.2

اقسِم $(B) (x)$ على $1$ .

$1 = A x + A + (B) (x)$

$1 = A x + A + B x$

خطوة 5.4.1.6

انقُل $A$ .

$1 = A x + B x + A$

خطوة 5.4.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = A + B$

خطوة 5.4.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = A$

خطوة 5.4.2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

خطوة 5.4.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + B$

خطوة 5.4.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $1$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $0 = A + B$ بـ $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

خطوة 5.4.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.2.2.1

احذِف الأقواس.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

خطوة 5.4.3.3

أوجِد قيمة $B$ في $0 = 1 + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

خطوة 5.4.3.3.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

خطوة 5.4.3.4

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

$B = - 1 A = 1$

خطوة 5.4.3.5

اسرِد جميع الحلول.

$B = - 1, A = 1$

خطوة 5.4.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- 1}{x + 1}$

خطوة 5.4.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} d x}$

خطوة 5.5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)}$

خطوة 5.6

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C + \int - \frac{1}{x + 1} d x)}$

خطوة 5.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{x + 1} d x)}$

خطوة 5.8

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 5.8.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.8.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 5.8.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 5.8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u} d u)}$

خطوة 5.9

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C - (\ln (| u |) + C))}$

خطوة 5.10

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (\frac{| x |}{| u |})} + C$

خطوة 5.11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |})} + C$

خطوة 5.12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.12.1

بسّط $- 2 \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |})$ بنقل $- 2$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({(\frac{| x |}{| x + 1 |})}^{- 2})} + C$

خطوة 5.12.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {(\frac{| x |}{| x + 1 |})}^{- 2} + C$

خطوة 5.12.3

غيّر علامة الأُس بإعادة كتابة الأساس في صورة مقلوبه.

$μ (x, y) = {(\frac{| x + 1 |}{| x |})}^{2} + C$

خطوة 5.12.4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{| x + 1 |}{| x |}$ .

$μ (x, y) = \frac{{| x + 1 |}^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

خطوة 5.12.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.12.5.1

احذِف القيمة المطلقة في ${| x + 1 |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

خطوة 5.12.5.2

أعِد كتابة ${(x + 1)}^{2}$ بالصيغة $(x + 1) (x + 1)$ .

$μ (x, y) = \frac{(x + 1) (x + 1)}{{| x |}^{2}} + C$

خطوة 5.12.5.3

وسّع $(x + 1) (x + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.12.5.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$μ (x, y) = \frac{x (x + 1) + 1 (x + 1)}{{| x |}^{2}} + C$

خطوة 5.12.5.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$μ (x, y) = \frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)}{{| x |}^{2}} + C$

خطوة 5.12.5.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$μ (x, y) = \frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

خطوة 5.12.5.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.12.5.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.12.5.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

خطوة 5.12.5.4.1.2

اضرب $x$ في $1$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

خطوة 5.12.5.4.1.3

اضرب $x$ في $1$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

خطوة 5.12.5.4.1.4

اضرب $1$ في $1$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x + x + 1}{{| x |}^{2}} + C$

خطوة 5.12.5.4.2

أضف $x$ و $x$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{{| x |}^{2}} + C$

خطوة 5.12.5.5

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.12.5.5.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

خطوة 5.12.5.5.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

خطوة 5.12.5.5.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

خطوة 5.12.5.5.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$μ (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

خطوة 5.12.6

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(2 x y - y) d x + (x^{2} + x) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $2 x y - y$ في $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$(2 x y - y) \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $2 x y - y$ في $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(2 x y - y) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

خطوة 6.3

أخرِج العامل $y$ من $2 x y - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أخرِج العامل $y$ من $2 x y$ .

$\frac{(y (2 x) - y) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

خطوة 6.3.2

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$\frac{(y (2 x) + y \cdot - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

خطوة 6.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y (2 x) + y \cdot - 1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

خطوة 6.4

اضرب $x^{2} + x$ في $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.5

اضرب $x^{2} + x$ في $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x^{2} + x) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x \cdot x + x) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.6.1.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x \cdot x + x^{1}) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.6.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x \cdot x + x \cdot 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.6.1.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x (x + 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.6.2

اضرب $x + 1$ في ${(x + 1)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.2.1

انقُل ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{2} (x + 1))}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.6.2.2

اضرب ${(x + 1)}^{2}$ في $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.2.2.1

ارفع $x + 1$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{1})}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.6.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x {(x + 1)}^{2 + 1}}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.6.2.3

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x {(x + 1)}^{3}}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.7

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

أخرِج العامل $x$ من $x {(x + 1)}^{3}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{3})}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{3})}{x \cdot x} d y = 0$

خطوة 6.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x {(x + 1)}^{3}}{x \cdot x} d y = 0$

خطوة 6.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{{(x + 1)}^{3}}{x} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{x} d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{3}}{x}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{3}}{x} y + C$

خطوة 8.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اجمع $\frac{{(x + 1)}^{3}}{x}$ و $y$ .

$f (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{3} y}{x} + C$

خطوة 8.2.2

أعِد كتابة $\frac{{(x + 1)}^{3} y}{x} + C$ بالصيغة $\frac{(x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) y}{x} + C$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) y}{x} + C$

خطوة 8.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

اضرب $3$ في $1$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) y}{x} + C$

خطوة 8.2.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{3}) y}{x} + C$

خطوة 8.2.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1^{3}) y}{x} + C$

خطوة 8.2.3.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ و $g (x) = x$ .

$y \frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1] - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$y \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.3.5

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.3.7

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.3.9

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.3.11

اضرب $2$ في $3$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.3.12

اضرب $3$ في $1$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.3.13

أضف $3 x^{2} + 6 x + 3$ و $0$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.3.14

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.3.15

اجمع $y$ و $\frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}{x^{2}}$ .

$\frac{y (x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1))}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y (x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1))}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y (x (3 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot 3 - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1))}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y (x (3 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot 3 - x^{3} - (3 x^{2}) - (3 x) - 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y (x (3 x^{2})) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.4.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y (3 (x^{1} x^{2})) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{y (3 x^{1 + 2}) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.4.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{y (3 x^{3}) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.4.4

انقُل $3$ إلى يسار $y$ .

$\frac{3 \cdot y x^{3} + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.4.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3 y x^{3} + y (6 (x^{1} x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.4.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3 y x^{3} + y (6 (x^{1} x^{1})) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.4.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3 y x^{3} + y (6 x^{1 + 1}) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.4.8

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{3 y x^{3} + y (6 x^{2}) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.4.9

انقُل $6$ إلى يسار $y$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 \cdot y x^{2} + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.4.10

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + y (3 \cdot x) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.4.11

انقُل $3$ إلى يسار $y$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 \cdot y x + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.4.12

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.4.13

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.4.14

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) + y \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.4.15

انقُل $- 1$ إلى يسار $y$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - 1 \cdot y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.4.16

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.4.17

انقُل $y$ .

$\frac{3 x^{3} y - x^{3} y + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.4.18

اطرح $x^{3} y$ من $3 x^{3} y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.4.19

انقُل $y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 6 x^{2} y - 3 x^{2} y + 3 y x + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.4.20

اطرح $3 x^{2} y$ من $6 x^{2} y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 y x + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.4.21

انقُل $y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 x y - 3 x y - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.4.22

اطرح $3 x y$ من $3 x y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y + 0 - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.4.23

أضف $2 x^{3} y + 3 x^{2} y$ و $0$ .

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.6

أخرِج العامل $y$ من $2 x^{3} y + 3 x^{2} y - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.6.1

أخرِج العامل $y$ من $2 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3}) + 3 x^{2} y - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.6.2

أخرِج العامل $y$ من $3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3}) + y (3 x^{2}) - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.6.3

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3}) + y (3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.6.4

أخرِج العامل $y$ من $y (2 x^{3}) + y (3 x^{2})$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3} + 3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.6.5

أخرِج العامل $y$ من $y (2 x^{3} + 3 x^{2}) + y \cdot - 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.7

لكتابة $\frac{d g}{d x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} + \frac{y (2 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + y (2 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + y (2 x^{3}) + y (3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.9.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + y (3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.9.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.9.2.3

انقُل $- 1$ إلى يسار $y$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - 1 \cdot y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.9.3

بسّط كل حد.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.5.10

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

بما أن العبارة في كل متعادل لها نفس القاسم، إذن يجب أن يكون البسطان متساويين.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$

خطوة 12.1.2

بسّط $y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.1

أعِد الكتابة.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 0 + 0 + y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$

خطوة 12.1.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 0 + y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$

خطوة 12.1.2.2.2

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (y (2 x) + y \cdot - 1) {(x + 1)}^{2}$

خطوة 12.1.2.2.2.2

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.2.2.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x + y \cdot - 1) {(x + 1)}^{2}$

خطوة 12.1.2.2.2.2.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $y$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - 1 \cdot y) {(x + 1)}^{2}$

خطوة 12.1.2.2.3

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) {(x + 1)}^{2}$

خطوة 12.1.2.2.4

أعِد كتابة ${(x + 1)}^{2}$ بالصيغة $(x + 1) (x + 1)$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) ((x + 1) (x + 1))$

خطوة 12.1.2.3

وسّع $(x + 1) (x + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

خطوة 12.1.2.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

خطوة 12.1.2.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

خطوة 12.1.2.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

خطوة 12.1.2.4.1.2

اضرب $x$ في $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

خطوة 12.1.2.4.1.3

اضرب $x$ في $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

خطوة 12.1.2.4.1.4

اضرب $1$ في $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x + x + 1)$

خطوة 12.1.2.4.2

أضف $x$ و $x$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + 2 x + 1)$

خطوة 12.1.2.5

وسّع $(2 y x - y) (x^{2} + 2 x + 1)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) + 2 y x \cdot 1 - y x^{2} - y (2 x) - y \cdot 1$

خطوة 12.1.2.6

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.6.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) + 2 y x \cdot 1 - y x^{2} - y (2 x) - y \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.6.1.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $2 y x \cdot 1$ و $- y (2 x)$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) + 1 \cdot 2 x y - y x^{2} - 1 \cdot 2 x y - y \cdot 1$

خطوة 12.1.2.6.1.2

اطرح $2 x y$ من $1 \cdot 2 x y$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) - y x^{2} + 0 - y \cdot 1$

خطوة 12.1.2.6.1.3

أضف $2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) - y x^{2}$ و $0$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

خطوة 12.1.2.6.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.6.2.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.6.2.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y (x^{2} x) + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

خطوة 12.1.2.6.2.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.6.2.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y (x^{2} x^{1}) + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

خطوة 12.1.2.6.2.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{2 + 1} + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

خطوة 12.1.2.6.2.1.3

أضف $2$ و $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

خطوة 12.1.2.6.2.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.6.2.2.1

انقُل $x$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 2 y (x \cdot x) \cdot 2 - y x^{2} - y \cdot 1$

خطوة 12.1.2.6.2.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 2 y x^{2} \cdot 2 - y x^{2} - y \cdot 1$

خطوة 12.1.2.6.2.3

اضرب $2$ في $2$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 4 y x^{2} - y x^{2} - y \cdot 1$

خطوة 12.1.2.6.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 4 y x^{2} - y x^{2} - y$

خطوة 12.1.2.6.3

اطرح $y x^{2}$ من $4 y x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y$

خطوة 12.1.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.1

اطرح $2 y x^{3}$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3}$

خطوة 12.1.3.2

اطرح $3 y x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} \frac{d g}{d x} - y = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3} - 3 y x^{2}$

خطوة 12.1.3.3

أضف $y$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3} - 3 y x^{2} + y$

خطوة 12.1.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3} - 3 y x^{2} + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.4.1

اطرح $2 y x^{3}$ من $2 y x^{3}$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 3 y x^{2} - y + 0 - 3 y x^{2} + y$

خطوة 12.1.3.4.2

أضف $3 y x^{2} - y$ و $0$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 3 y x^{2} - y - 3 y x^{2} + y$

خطوة 12.1.3.4.3

اطرح $3 y x^{2}$ من $3 y x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = - y + 0 + y$

خطوة 12.1.3.4.4

أضف $- y$ و $0$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = - y + y$

خطوة 12.1.3.4.5

أضف $- y$ و $y$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 0$

خطوة 12.1.4

اقسِم كل حد في $x^{2} \frac{d g}{d x} = 0$ على $x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.4.1

اقسِم كل حد في $x^{2} \frac{d g}{d x} = 0$ على $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d g}{d x}}{x^{2}} = \frac{0}{x^{2}}$

خطوة 12.1.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} \frac{d g}{d x}}{x^{2}} = \frac{0}{x^{2}}$

خطوة 12.1.4.2.1.2

اقسِم $\frac{d g}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{x^{2}}$

خطوة 12.1.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.4.3.1

اقسِم $0$ على $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $0$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

خطوة 13.3

تكامل $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$g (x) = 0 + C$

خطوة 13.4

أضف $0$ و $C$ .

$g (x) = C$

خطوة 14

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + C$

خطوة 15

أعِد ترتيب العوامل في $f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}{x} + C$