حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} - \frac{2 y}{x}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $\frac{2 y}{x}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = - \frac{\cos (x)}{x^{2}}$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $y$ من $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = - \frac{\cos (x)}{x^{2}}$

خطوة 1.3

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $\frac{2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 2.2.3

بسّط.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{2 \ln (x)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{2})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{2}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} (- \frac{\cos (x)}{x^{2}})$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{2}{x}$ و $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} (- \frac{\cos (x)}{x^{2}})$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (- \frac{\cos (x)}{x^{2}})$

خطوة 3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (- \frac{\cos (x)}{x^{2}})$

خطوة 3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} (- \frac{\cos (x)}{x^{2}})$

خطوة 3.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} (- \frac{\cos (x)}{x^{2}})$

خطوة 3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = - x^{2} \frac{\cos (x)}{x^{2}}$

خطوة 3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \cdot - 1 \frac{\cos (x)}{x^{2}}$

خطوة 3.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \cdot - 1 \frac{\cos (x)}{x^{2}}$

خطوة 3.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = - \cos (x)$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = - \cos (x)$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int - \cos (x) d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x^{2} y = \int - \cos (x) d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x^{2} y = - \int \cos (x) d x$

خطوة 7.2

تكامل $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\sin (x)$ .

$x^{2} y = - (\sin (x) + C)$

خطوة 7.3

بسّط.

$x^{2} y = - \sin (x) + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $x^{2} y = - \sin (x) + C$ على $x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $x^{2} y = - \sin (x) + C$ على $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \sin (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \sin (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- \sin (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{\sin (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$