حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \csc (x) + y \cot (x)$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $y \cot (x)$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} - y \cot (x) = \csc (x)$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $y$ من $- y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- 1 \cot (x)) = \csc (x)$

خطوة 1.3

أعِد ترتيب $y$ و $- 1 \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cot (x) y = \csc (x)$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - 1 \cot (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - 1 \cot (x) d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $- 1 \cot (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \cot (x) d x}$

خطوة 2.2.2

تكامل $\cot (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{- (\ln (| \sin (x) |) + C)}$

خطوة 2.2.3

بسّط.

$e^{- \ln (| \sin (x) |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- \ln (\sin (x))}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (\sin^{- 1} (x))}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$\sin^{- 1} (x)$

خطوة 2.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 2.7

حوّل من $\frac{1}{\sin (x)}$ إلى $\csc (x)$ .

$\csc (x)$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\csc (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\csc (x)$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} + \csc (x) (- 1 \cot (x) y) = \csc (x) \csc (x)$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc (x) \csc (x)$

خطوة 3.3

اضرب $\csc (x) \csc (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

ارفع $\csc (x)$ إلى القوة $1$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{1} (x) \csc (x)$

خطوة 3.3.2

ارفع $\csc (x)$ إلى القوة $1$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{1} (x) \csc^{1} (x)$

خطوة 3.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = {\csc (x)}^{1 + 1}$

خطوة 3.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{2} (x)$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب العوامل في $\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{2} (x)$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - y \csc (x) \cot (x) = \csc^{2} (x)$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\csc (x) y] = \csc^{2} (x)$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\csc (x) y] d x = \int \csc^{2} (x) d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\csc (x) y = \int \csc^{2} (x) d x$

خطوة 7

بما أن مشتق $- \cot (x)$ هو $\csc^{2} (x)$ ، إذن تكامل $\csc^{2} (x)$ هو $- \cot (x)$ .

$\csc (x) y = - \cot (x) + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $\csc (x) y = - \cot (x) + C$ على $\csc (x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $\csc (x) y = - \cot (x) + C$ على $\csc (x)$ .

$\frac{\csc (x) y}{\csc (x)} = \frac{- \cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\csc (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\csc (x) y}{\csc (x)} = \frac{- \cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- \cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

افصِل الكسور.

$y = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

خطوة 8.3.1.2

أعِد كتابة $\csc (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$y = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\cot (x)}{\frac{1}{\sin (x)}} + \frac{C}{\csc (x)}$

خطوة 8.3.1.3

أعِد كتابة $\cot (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$y = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}} + \frac{C}{\csc (x)}$

خطوة 8.3.1.4

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$y = \frac{- 1}{1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) + \frac{C}{\csc (x)}$

خطوة 8.3.1.5

اكتب $\sin (x)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$y = \frac{- 1}{1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1}) + \frac{C}{\csc (x)}$

خطوة 8.3.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{- 1}{1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1}) + \frac{C}{\csc (x)}$

خطوة 8.3.1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{- 1}{1} \cos (x) + \frac{C}{\csc (x)}$

خطوة 8.3.1.7

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$y = - \cos (x) + \frac{C}{\csc (x)}$

خطوة 8.3.1.8

افصِل الكسور.

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\csc (x)}$

خطوة 8.3.1.9

أعِد كتابة $\csc (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}$

خطوة 8.3.1.10

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} (1 \sin (x))$

خطوة 8.3.1.11

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} \sin (x)$

خطوة 8.3.1.12

اقسِم $C$ على $1$ .

$y = - \cos (x) + C \sin (x)$