حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 3 \sin^{2} (x) \cos (x)$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = 3 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 3 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 3 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 3 \int \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = \sin (x)$ . إذن $d u = \cos (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = \sin (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 2.3.2.1.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = 3 \int u^{2} d u$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

أعِد كتابة $3 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ بالصيغة $3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{3} u^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{3}{3} u^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = 1 u^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2.3

اضرب $u^{3}$ في $1$ .

$y + C_{1} = u^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x)$ .

$y + C_{1} = \sin^{3} (x) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \sin^{3} (x) + K$