حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(2 x y + 3) d y - y^{2} d x = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب المعادلة التفضيلية التامة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد الكتابة.

$- y^{2} d x + (2 x y + 3) d y = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = - y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

خطوة 2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 y)$

خطوة 2.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

خطوة 3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 2 x y + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y + 3]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x y + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 3.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 0$

خطوة 3.4.2

أضف $2 y$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

خطوة 4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $- 2 y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 y = 2 y$

خطوة 4.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$- 2 y = 2 y$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 5

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $2 y$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $- 2 y$ .

$\frac{2 y - (- 2 y)}{M}$

خطوة 5.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $- y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $- y^{2}$ .

$\frac{2 y - (- 2 y)}{- y^{2}}$

خطوة 5.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $2 y - (- 2 y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

أخرِج العامل $y$ من $2 y$ .

$\frac{y \cdot 2 - (- 2 y)}{- y^{2}}$

خطوة 5.3.2.1.2

أخرِج العامل $y$ من $- (- 2 y)$ .

$\frac{y \cdot 2 + y (- (- 2))}{- y^{2}}$

خطوة 5.3.2.1.3

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot 2 + y (- (- 2))$ .

$\frac{y (2 - (- 2))}{- y^{2}}$

خطوة 5.3.2.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\frac{y (2 + 2)}{- y^{2}}$

خطوة 5.3.2.3

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{y \cdot 4}{- y^{2}}$

خطوة 5.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $y$ و $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot 4$ .

$\frac{y (4)}{- y^{2}}$

خطوة 5.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $- y^{2}$ .

$\frac{y (4)}{y (- y)}$

خطوة 5.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \cdot 4}{y (- y)}$

خطوة 5.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4}{- y}$

خطوة 5.3.4

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $- y^{2}$ .

$- \frac{4}{y}$

خطوة 5.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{y} d y}$

خطوة 6

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{4}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{y} d y}$

خطوة 6.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{y} d y)}$

خطوة 6.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 6.4

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 6.5

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| y |)} + C$

خطوة 6.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

بسّط $- 4 \ln (| y |)$ بنقل $- 4$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 4})} + C$

خطوة 6.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 4} + C$

خطوة 6.6.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| y |}^{- 4}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = y^{- 4} + C$

خطوة 6.6.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{4}} + C$

خطوة 7

اضرب كلا طرفي $- y^{2} d x + (2 x y + 3) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{y^{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- y^{2}$ في $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- y^{2} \frac{1}{y^{4}} d x + (2 x y + 3) d y = 0$

خطوة 7.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $- y^{2}$ .

$y^{2} \cdot - 1 \frac{1}{y^{4}} d x + (2 x y + 3) d y = 0$

خطوة 7.2.2

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{4}$ .

$y^{2} \cdot - 1 \frac{1}{y^{2} y^{2}} d x + (2 x y + 3) d y = 0$

خطوة 7.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} \cdot - 1 \frac{1}{y^{2} y^{2}} d x + (2 x y + 3) d y = 0$

خطوة 7.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{y^{2}} d x + (2 x y + 3) d y = 0$

خطوة 7.3

اضرب $2 x y + 3$ في $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- \frac{1}{y^{2}} d x + (2 x y + 3) \frac{1}{y^{4}} d y = 0$

خطوة 7.4

اضرب $2 x y + 3$ في $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- \frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 x y + 3}{y^{4}} d y = 0$

خطوة 8

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{1}{y^{2}} d x$

خطوة 9

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = - \frac{1}{y^{2}}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{2}} x + C$

خطوة 9.2

اجمع $x$ و $\frac{1}{y^{2}}$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y^{2}} + C$

خطوة 10

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y^{2}} + g (y)$

خطوة 11

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

خطوة 12

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y^{2}} + g (y)] = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

خطوة 12.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{x}{y^{2}} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

خطوة 12.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

بما أن $- x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- \frac{x}{y^{2}}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$- x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

خطوة 12.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{y^{2}}$ بالصيغة ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$- x \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

خطوة 12.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{- 1}$ و $g (y) = y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y^{2}$ .

$- x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

خطوة 12.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

خطوة 12.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y^{2}$ .

$- x (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

خطوة 12.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- x (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

خطوة 12.3.5

اضرب الأُسس في ${(y^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

خطوة 12.3.5.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$- x (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

خطوة 12.3.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- x (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

خطوة 12.3.7

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$- x (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

خطوة 12.3.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- x (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

خطوة 12.3.9

اطرح $4$ من $1$ .

$- x (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

خطوة 12.3.10

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$2 x y^{- 3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

خطوة 12.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x y^{- 3} + \frac{d g}{d y} = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

خطوة 12.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x \frac{1}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

خطوة 12.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{y^{3}}$ .

$x \frac{2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

خطوة 12.5.2.2

اجمع $x$ و $\frac{2}{y^{3}}$ .

$\frac{x \cdot 2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

خطوة 12.5.2.3

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{2 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

خطوة 12.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

خطوة 13

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.1

اطرح $\frac{2 x y + 3}{y^{4}}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 x}{y^{3}} - \frac{2 x y + 3}{y^{4}} = 0$

خطوة 13.1.1.2

لكتابة $\frac{d g}{d y}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y^{4}}{y^{4}}$ .

$\frac{2 x}{y^{3}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{4}}{y^{4}} - \frac{2 x y + 3}{y^{4}} = 0$

خطوة 13.1.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 x}{y^{3}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{4} - (2 x y + 3)}{y^{4}} = 0$

خطوة 13.1.1.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x}{y^{3}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{4} - (2 x y) - 1 \cdot 3}{y^{4}} = 0$

خطوة 13.1.1.4.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 x}{y^{3}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{4} - 2 (x y) - 1 \cdot 3}{y^{4}} = 0$

خطوة 13.1.1.4.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{2 x}{y^{3}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{4} - 2 x y - 3}{y^{4}} = 0$

خطوة 13.1.1.5

لكتابة $\frac{2 x}{y^{3}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y}{y}$ .

$\frac{2 x}{y^{3}} \cdot \frac{y}{y} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{4} - 2 x y - 3}{y^{4}} = 0$

خطوة 13.1.1.6

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $y^{4}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.6.1

اضرب $\frac{2 x}{y^{3}}$ في $\frac{y}{y}$ .

$\frac{2 x y}{y^{3} y} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{4} - 2 x y - 3}{y^{4}} = 0$

خطوة 13.1.1.6.2

اضرب $y^{3}$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.6.2.1

اضرب $y^{3}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.6.2.1.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 x y}{y^{3} y^{1}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{4} - 2 x y - 3}{y^{4}} = 0$

خطوة 13.1.1.6.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x y}{y^{3 + 1}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{4} - 2 x y - 3}{y^{4}} = 0$

خطوة 13.1.1.6.2.2

أضف $3$ و $1$ .

$\frac{2 x y}{y^{4}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{4} - 2 x y - 3}{y^{4}} = 0$

خطوة 13.1.1.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 x y + \frac{d g}{d y} y^{4} - 2 x y - 3}{y^{4}} = 0$

خطوة 13.1.1.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.8.1

اطرح $2 x y$ من $2 x y$ .

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{4} + 0 - 3}{y^{4}} = 0$

خطوة 13.1.1.8.2

أضف $\frac{d g}{d y} y^{4}$ و $0$ .

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{4} - 3}{y^{4}} = 0$

خطوة 13.1.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$\frac{d g}{d y} y^{4} - 3 = 0$

خطوة 13.1.3

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.3.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} y^{4} = 3$

خطوة 13.1.3.2

اقسِم كل حد في $\frac{d g}{d y} y^{4} = 3$ على $y^{4}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.3.2.1

اقسِم كل حد في $\frac{d g}{d y} y^{4} = 3$ على $y^{4}$ .

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{4}}{y^{4}} = \frac{3}{y^{4}}$

خطوة 13.1.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{4}}{y^{4}} = \frac{3}{y^{4}}$

خطوة 13.1.3.2.2.1.2

اقسِم $\frac{d g}{d y}$ على $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{3}{y^{4}}$

خطوة 14

أوجِد المشتق العكسي لـ $\frac{3}{y^{4}}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = \frac{3}{y^{4}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{3}{y^{4}} d y$

خطوة 14.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{3}{y^{4}} d y$

خطوة 14.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$g (y) = 3 \int \frac{1}{y^{4}} d y$

خطوة 14.4

انقُل $y^{4}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$g (y) = 3 \int {(y^{4})}^{- 1} d y$

خطوة 14.5

اضرب الأُسس في ${(y^{4})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = 3 \int y^{4 \cdot - 1} d y$

خطوة 14.5.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$g (y) = 3 \int y^{- 4} d y$

خطوة 14.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{- 4}$ بالنسبة إلى $y$ هو $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$g (y) = 3 (- \frac{1}{3} y^{- 3} + C)$

خطوة 14.7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.7.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.7.1.1

اجمع $y^{- 3}$ و $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = 3 (- \frac{y^{- 3}}{3} + C)$

خطوة 14.7.1.2

انقُل $y^{- 3}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$g (y) = 3 (- \frac{1}{3 y^{3}} + C)$

خطوة 14.7.2

بسّط.

$g (y) = 3 (- \frac{1}{3 y^{3}}) + C$

خطوة 14.7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.7.3.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$g (y) = - 3 \frac{1}{3 y^{3}} + C$

خطوة 14.7.3.2

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{3 y^{3}}$ .

$g (y) = \frac{- 3}{3 y^{3}} + C$

خطوة 14.7.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 3$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.7.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$g (y) = \frac{3 \cdot - 1}{3 y^{3}} + C$

خطوة 14.7.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.7.3.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 y^{3}$ .

$g (y) = \frac{3 \cdot - 1}{3 (y^{3})} + C$

خطوة 14.7.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$g (y) = \frac{3 \cdot - 1}{3 y^{3}} + C$

خطوة 14.7.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$g (y) = \frac{- 1}{y^{3}} + C$

خطوة 14.7.3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$g (y) = - \frac{1}{y^{3}} + C$

خطوة 15

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = - \frac{x}{y^{2}} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y^{2}} - \frac{1}{y^{3}} + C$