حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{- 2 y} \frac{d y}{d x} - \sin (x) = 0$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- 2 y} \frac{d y}{d x} - \sin (x)$ .

$\frac{d y}{d x} e^{- 2 y} - \sin (x) = 0$

خطوة 1.1.2

أضف $\sin (x)$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} e^{- 2 y} = \sin (x)$

خطوة 1.1.3

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} e^{- 2 y} = \sin (x)$ على $e^{- 2 y}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} e^{- 2 y} = \sin (x)$ على $e^{- 2 y}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{- 2 y}}{e^{- 2 y}} = \frac{\sin (x)}{e^{- 2 y}}$

خطوة 1.1.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- 2 y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{- 2 y}}{e^{- 2 y}} = \frac{\sin (x)}{e^{- 2 y}}$

خطوة 1.1.3.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (x)}{e^{- 2 y}}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $e^{- 2 y}$ .

$e^{- 2 y} \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \frac{\sin (x)}{e^{- 2 y}}$

خطوة 1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- 2 y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{- 2 y} \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \frac{\sin (x)}{e^{- 2 y}}$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{- 2 y} \frac{d y}{d x} = \sin (x)$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$e^{- 2 y} d y = \sin (x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int e^{- 2 y} d y = \int \sin (x) d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = - 2 y$ . إذن $d u = - 2 d y$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = - 2 y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

خطوة 2.2.1.1.2

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

خطوة 2.2.1.1.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{- 2} d u = \int \sin (x) d x$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \sin (x) d x$

خطوة 2.2.2.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{2} d u = \int \sin (x) d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{e^{u}}{2} d u = \int \sin (x) d x$

خطوة 2.2.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) = \int \sin (x) d x$

خطوة 2.2.5

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C_{1}) = \int \sin (x) d x$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$- \frac{1}{2} e^{u} + C_{1} = \int \sin (x) d x$

خطوة 2.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 2 y$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \int \sin (x) d x$

خطوة 2.3

تكامل $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \cos (x)$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = - \cos (x) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} = - \cos (x) + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 y}) = - 2 (- \cos (x) + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $- 2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 y})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $e^{- 2 y}$ و $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{2}) = - 2 (- \cos (x) + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{e^{- 2 y}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$- 2 \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (- \cos (x) + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (- \cos (x) + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (- \cos (x) + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$- - e^{- 2 y} = - 2 (- \cos (x) + K)$

خطوة 3.2.1.1.3

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 e^{- 2 y} = - 2 (- \cos (x) + K)$

خطوة 3.2.1.1.3.2

اضرب $e^{- 2 y}$ في $1$ .

$e^{- 2 y} = - 2 (- \cos (x) + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $- 2 (- \cos (x) + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{- 2 y} = - 2 (- \cos (x)) - 2 K$

خطوة 3.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$e^{- 2 y} = 2 \cos (x) - 2 K$

خطوة 3.3

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{- 2 y}) = \ln (2 \cos (x) - 2 K)$

خطوة 3.4

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

وسّع $\ln (e^{- 2 y})$ بنقل $- 2 y$ خارج اللوغاريتم.

$- 2 y \ln (e) = \ln (2 \cos (x) - 2 K)$

خطوة 3.4.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$- 2 y \cdot 1 = \ln (2 \cos (x) - 2 K)$

خطوة 3.4.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2 y = \ln (2 \cos (x) - 2 K)$

خطوة 3.5

اقسِم كل حد في $- 2 y = \ln (2 \cos (x) - 2 K)$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اقسِم كل حد في $- 2 y = \ln (2 \cos (x) - 2 K)$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\ln (2 \cos (x) - 2 K)}{- 2}$

خطوة 3.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\ln (2 \cos (x) - 2 K)}{- 2}$

خطوة 3.5.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (2 \cos (x) - 2 K)}{- 2}$

خطوة 3.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{\ln (2 \cos (x) - 2 K)}{2}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = - \frac{\ln (2 \cos (x) + K)}{2}$