حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x + y) \frac{d y}{d x} = 2 (x + y) + 1$

خطوة 1

لنفترض أن $v = x + y$ . استبدِل $v$ بجميع حالات حدوث $x + y$ .

$v \frac{d y}{d x} = 2 v + 1$

خطوة 2

أوجِد $\frac{d v}{d x}$ بإيجاد مشتقة $x + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 1 + y'$

خطوة 3

عوّض بالمشتق مجددًا في المعادلة التفاضلية.

$v \frac{d v}{d x} - v = 2 v + 1$

خطوة 4

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد قيمة $\frac{d v}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d v}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

أضف $v$ إلى كلا المتعادلين.

$v \frac{d v}{d x} = 2 v + 1 + v$

خطوة 4.1.1.2

أضف $2 v$ و $v$ .

$v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$

خطوة 4.1.2

اقسِم كل حد في $v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$ على $v$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اقسِم كل حد في $v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$ على $v$ .

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

خطوة 4.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

خطوة 4.1.2.2.1.2

اقسِم $\frac{d v}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

خطوة 4.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

خطوة 4.1.2.3.1.2

اقسِم $3$ على $1$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 + \frac{1}{v}$

خطوة 4.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{3 + \frac{1}{v}}$ .

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} (3 + \frac{1}{v})$

خطوة 4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3 + \frac{1}{v}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} (3 + \frac{1}{v})$

خطوة 4.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = 1$

خطوة 4.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} d v = 1 d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} d v = \int d x$

خطوة 5.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{v}{v}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}} d v = \int d x$

خطوة 5.2.1.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int \frac{1}{\frac{3 v + 1}{v}} d v = \int d x$

خطوة 5.2.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\int 1 \frac{v}{3 v + 1} d v = \int d x$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $\frac{v}{3 v + 1}$ في $1$ .

$\int \frac{v}{3 v + 1} d v = \int d x$

خطوة 5.2.2

اقسِم $v$ على $3 v + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$3 v$

$1$

$v$

$0$

خطوة 5.2.2.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $v$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $3 v$ .

					$\frac{1}{3}$
	$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$

خطوة 5.2.2.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			+	$v$	+	$\frac{1}{3}$

خطوة 5.2.2.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $v + \frac{1}{3}$

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			-	$v$	-	$\frac{1}{3}$

خطوة 5.2.2.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			-	$v$	-	$\frac{1}{3}$
					-	$\frac{1}{3}$

خطوة 5.2.2.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int \frac{1}{3} - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

خطوة 5.2.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{1}{3} d v + \int - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

خطوة 5.2.4

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{3} v + C_{1} + \int - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

خطوة 5.2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \int \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

خطوة 5.2.6

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 v + 1} d v) = \int d x$

خطوة 5.2.7

لنفترض أن $u = 3 v + 1$ . إذن $d u = 3 d v$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d v$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1

افترض أن $u = 3 v + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d v}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1.1

أوجِد مشتقة $3 v + 1$ .

$\frac{d}{d v} [3 v + 1]$

خطوة 5.2.7.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 v + 1$ بالنسبة إلى $v$ هو $\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [1]$

خطوة 5.2.7.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d v} [3 v]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، إذن مشتق $3 v$ بالنسبة إلى $v$ يساوي $3 \frac{d}{d v} [v]$ .

$3 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$

خطوة 5.2.7.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ هو $n v^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [1]$

خطوة 5.2.7.1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + \frac{d}{d v} [1]$

خطوة 5.2.7.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $v$ هو $0$ .

$3 + 0$

خطوة 5.2.7.1.4.2

أضف $3$ و $0$ .

$3$

خطوة 5.2.7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int d x$

خطوة 5.2.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.8.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int d x$

خطوة 5.2.8.2

انقُل $3$ إلى يسار $u$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 u} d u = \int d x$

خطوة 5.2.9

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

خطوة 5.2.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.10.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

خطوة 5.2.10.2

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{9} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

خطوة 5.2.11

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{9} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int d x$

خطوة 5.2.12

بسّط.

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) + C_{3} = \int d x$

خطوة 5.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) + C_{3} = x + C_{4}$

خطوة 5.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) = x + C$

خطوة 6

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $v$ .

$\frac{v}{3} - \frac{1}{9} \ln (| u |) = x + C$

خطوة 6.1.2

اضرب $- \frac{1}{9} \ln (| u |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

أعِد ترتيب $\ln (| u |)$ و $\frac{1}{9}$ .

$\frac{v}{3} - (\frac{1}{9} \ln (| u |)) = x + C$

خطوة 6.1.2.2

بسّط $\frac{1}{9} \ln (| u |)$ بنقل $\frac{1}{9}$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{v}{3} - \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}) = x + C$

خطوة 6.2

أضف $\ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{v}{3} = x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$

خطوة 6.3

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 \frac{v}{3} = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

خطوة 6.4

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{v}{3} = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

خطوة 6.4.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$v = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

خطوة 6.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$v = 3 x + 3 C + 3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$

خطوة 6.5

بسّط $3 x + 3 C + 3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1.1

بسّط $3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({({| u |}^{\frac{1}{9}})}^{3})$

خطوة 6.5.1.2

اضرب الأُسس في ${({| u |}^{\frac{1}{9}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9} \cdot 3})$

خطوة 6.5.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3 (3)} \cdot 3})$

خطوة 6.5.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot 3})$

خطوة 6.5.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

خطوة 6.5.2

أعِد ترتيب $3 x$ و $3 C$ .

$v = 3 C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

خطوة 7

بسّط ثابت التكامل.

$v = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $v$ بـ $x + y$ .

$x + y = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

خطوة 9

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$y = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}}) - x$

خطوة 9.2

اطرح $x$ من $3 x$ .

$y = C + 2 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$