حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\cos (x + y) d x + (3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = \cos (x + y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x + y)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = \cos (y)$ و $g (y) = x + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x + y]$

خطوة 1.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (u) \frac{d}{d y} [x + y]$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y) \frac{d}{d y} [x + y]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 1.3.2

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 1.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y) \cdot 1$

خطوة 1.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y)$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

خطوة 2.2.2

بما أن $3 y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

خطوة 2.2.3

بما أن $2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = x + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 2.3.1.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.4

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y) (1 + 0)$

خطوة 2.3.5

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y) \cdot 1$

خطوة 2.3.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y)$

خطوة 2.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \sin (x + y)$

خطوة 2.4.2

اطرح $\sin (x + y)$ من $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x + y)$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $- \sin (x + y)$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- \sin (x + y)$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- \sin (x + y) = - \sin (x + y)$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$- \sin (x + y) = - \sin (x + y)$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \cos (x + y) d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = \cos (x + y)$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لنفترض أن $u = x + y$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

افترض أن $u = x + y$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

أوجِد مشتقة $x + y$ .

$\frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 5.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 5.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 5.1.1.4

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 5.1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 5.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$f (x, y) = \int \cos (u) d u$

خطوة 5.2

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$f (x, y) = \sin (u) + C$

خطوة 5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + y$ .

$f (x, y) = \sin (x + y) + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = \sin (x + y) + g (y)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (x + y) + g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (x + y) + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\sin (x + y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = \sin (y)$ و $g (y) = x + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x + y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

خطوة 8.3.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d y} [x + y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

خطوة 8.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d y} [x + y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

خطوة 8.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

خطوة 8.3.3

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\cos (x + y) (0 + \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

خطوة 8.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\cos (x + y) (0 + 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

خطوة 8.3.5

أضف $0$ و $1$ .

$\cos (x + y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

خطوة 8.3.6

اضرب $\cos (x + y)$ في $1$ .

$\cos (x + y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$\cos (x + y) + \frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

خطوة 8.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + \cos (x + y) = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $\cos (x + y)$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y) - \cos (x + y)$

خطوة 9.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y) - \cos (x + y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اطرح $\cos (x + y)$ من $\cos (x + y)$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 2 y + 0$

خطوة 9.1.2.2

أضف $3 y^{2} + 2 y$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 2 y$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $3 y^{2} + 2 y$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 y^{2} + 2 y d y$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 3 y^{2} + 2 y d y$

خطوة 10.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$g (y) = \int 3 y^{2} d y + \int 2 y d y$

خطوة 10.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$g (y) = 3 \int y^{2} d y + \int 2 y d y$

خطوة 10.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 2 y d y$

خطوة 10.6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 \int y d y$

خطوة 10.7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

خطوة 10.8

بسّط.

$g (y) = 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

خطوة 10.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.9.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

خطوة 10.9.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.9.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

خطوة 10.9.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$g (y) = 1 y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

خطوة 10.9.3

اضرب $y^{3}$ في $1$ .

$g (y) = y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

خطوة 10.9.4

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = y^{3} + \frac{2}{2} y^{2} + C$

خطوة 10.9.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.9.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$g (y) = y^{3} + \frac{2}{2} y^{2} + C$

خطوة 10.9.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$g (y) = y^{3} + 1 y^{2} + C$

خطوة 10.9.6

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$g (y) = y^{3} + y^{2} + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = \sin (x + y) + g (y)$ .

$f (x, y) = \sin (x + y) + y^{3} + y^{2} + C$