حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} = y \sin^{3} (t)$ , $y (0) = 1$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \sin^{3} (t))$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y \sin^{3} (t)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (\sin^{3} (t)))$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \sin^{3} (t))$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \sin^{3} (t)$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = \sin^{3} (t) d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \sin^{3} (t) d t$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin^{3} (t) d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أخرِج عامل $\sin^{2} (t)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

خطوة 2.3.2

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\sin^{2} (t)$ بحيث تصبح $1 - \cos^{2} (t)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

خطوة 2.3.3

لنفترض أن $u = \cos (t)$ . إذن $d u = - \sin (t) d t$ ، لذا $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

افترض أن $u = \cos (t)$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

خطوة 2.3.3.1.2

مشتق $\cos (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

خطوة 2.3.3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 1 + u^{2} d u$

خطوة 2.3.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 1 d u + \int u^{2} d u$

خطوة 2.3.5

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + C_{2} + \int u^{2} d u$

خطوة 2.3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + C_{2} + \frac{1}{3} u^{3} + C_{3}$

خطوة 2.3.7

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + \frac{1}{3} u^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (t)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t) + C_{4}$

خطوة 2.3.9

أعِد ترتيب الحدود.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| y |) = \frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C} = | y |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{\frac{1}{3} \cdot \cos^{3} (t) - \cos (t) + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{3} \cdot \cos^{3} (t) - \cos (t) + C}$

خطوة 3.3.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\cos^{3} (t)$ .

$| y | = e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t) + C}$

خطوة 3.3.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t) + C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t) + C}$ بالصيغة $e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)} e^{C}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$

خطوة 5

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $0$ عن $t$ وبـ $1$ عن $y$ في $y = C e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$ .

$1 = C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - \cos (0)}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - \cos (0)} = 1$ .

$C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - \cos (0)} = 1$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - 1 \cdot 1} = 1$

خطوة 6.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - 1} = 1$

خطوة 6.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$C e^{\frac{1^{3}}{3} - 1} = 1$

خطوة 6.2.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$C e^{\frac{1}{3} - 1} = 1$

خطوة 6.2.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$C e^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} = 1$

خطوة 6.2.5

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$C e^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} = 1$

خطوة 6.2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$C e^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} = 1$

خطوة 6.2.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$C e^{\frac{1 - 3}{3}} = 1$

خطوة 6.2.7.2

اطرح $3$ من $1$ .

$C e^{\frac{- 2}{3}} = 1$

خطوة 6.3

اقسِم كل حد في $C e^{\frac{- 2}{3}} = 1$ على $e^{- \frac{2}{3}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اقسِم كل حد في $C e^{\frac{- 2}{3}} = 1$ على $e^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{C e^{\frac{- 2}{3}}}{e^{- \frac{2}{3}}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

أخرِج العامل $e^{- \frac{2}{3}}$ من $C e^{\frac{- 2}{3}}$ .

$\frac{e^{- \frac{2}{3}} (C e^{\frac{0}{3}})}{e^{- \frac{2}{3}}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

خطوة 6.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1

اضرب في $1$ .

$\frac{e^{- \frac{2}{3}} (C e^{\frac{0}{3}})}{e^{- \frac{2}{3}} \cdot 1} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

خطوة 6.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{- \frac{2}{3}} (C e^{\frac{0}{3}})}{e^{- \frac{2}{3}} \cdot 1} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

خطوة 6.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{C e^{\frac{0}{3}}}{1} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

خطوة 6.3.2.2.4

اقسِم $C e^{\frac{0}{3}}$ على $1$ .

$C e^{\frac{0}{3}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

خطوة 6.3.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.3.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$C e^{\frac{3 (0)}{3}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

خطوة 6.3.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$C e^{\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

خطوة 6.3.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$C e^{\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

خطوة 6.3.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$C e^{\frac{0}{1}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

خطوة 6.3.2.3.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$C e^{0} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

خطوة 6.3.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.4.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$C \cdot 1 = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

خطوة 6.3.2.4.2

اضرب $C$ في $1$ .

$C = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

خطوة 6.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

انقُل $e^{- \frac{2}{3}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$C = e^{\frac{2}{3}}$

خطوة 7

عوّض بـ $e^{\frac{2}{3}}$ عن $C$ في $y = C e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $e^{\frac{2}{3}}$ .

$y = e^{\frac{2}{3}} e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$

خطوة 7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = e^{\frac{2}{3} + \frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$