حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

Solve $x \frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ and find the particular solution when $y (1) = 1$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 1$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = 1 d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أعِد ترتيب $y^{2}$ و $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\arctan (y) = x + K$

خطوة 3

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الظل.

$y = \tan (x + K)$

خطوة 4

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $1$ عن $x$ وبـ $1$ عن $y$ في $y = \tan (x + K)$ .

$1 = \tan (1 + K)$

خطوة 5

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\tan (1 + K) = 1$ .

$\tan (1 + K) = 1$

خطوة 5.2

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $K$ من داخل المماس.

$1 + K = \arctan (1)$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (1)$ هي $\frac{π}{4}$ .

$1 + K = \frac{π}{4}$

خطوة 5.4

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$K = \frac{π}{4} - 1$

خطوة 5.5

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$1 + K = π + \frac{π}{4}$

خطوة 5.6

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $π + \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$1 + K = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 5.6.1.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.2.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$1 + K = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 5.6.1.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$1 + K = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

خطوة 5.6.1.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.3.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$1 + K = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

خطوة 5.6.1.3.2

أضف $4 π$ و $π$ .

$1 + K = \frac{5 π}{4}$

خطوة 5.6.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$K = \frac{5 π}{4} - 1$

خطوة 5.7

أوجِد فترة $\tan (1 + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 5.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 5.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 5.7.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 5.8

فترة دالة $\tan (1 + K)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$K = \frac{π}{4} - 1 + π n, \frac{5 π}{4} - 1 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5.9

وحّد الإجابات.

$K = \frac{π}{4} - 1 + π n$

خطوة 6

عوّض بـ $\frac{π}{4} - 1 + π n$ عن $K$ في $y = \tan (x + K)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $\frac{π}{4} - 1 + π n$ .

$y = \tan (x + \frac{π}{4} - 1 + π n)$