حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{1 + x^{2}}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \sqrt{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \sqrt{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \sqrt{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $x = \tan (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \sec^{2} (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\sec^{2} (t)$ موجبة.

$y + C_{1} = \int \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.3.2

بسّط $\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{1} = \int \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.3.2.2

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$y + C_{1} = \int \sqrt{\sec^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.3.2.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$y + C_{1} = \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.3.3

اضرب $\sec (t)$ في $\sec^{2} (t)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $\sec (t)$ في $\sec^{2} (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$y + C_{1} = \int \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.3.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y + C_{1} = \int {\sec (t)}^{1 + 2} d t$

خطوة 2.3.3.2

أضف $1$ و $2$ .

$y + C_{1} = \int \sec^{3} (t) d t$

خطوة 2.3.4

أخرِج العامل $\sec (t)$ من $\sec^{3} (t)$ .

$y + C_{1} = \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.3.5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \sec (t)$ و $d v = \sec^{2} (t)$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.3.6

ارفع $\tan (t)$ إلى القوة $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

خطوة 2.3.7

ارفع $\tan (t)$ إلى القوة $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

خطوة 2.3.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

خطوة 2.3.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.9.1

أضف $1$ و $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

خطوة 2.3.9.2

أعِد ترتيب $\tan^{2} (t)$ و $\sec (t)$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

خطوة 2.3.10

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (t)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.3.11

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.1

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t$

خطوة 2.3.11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

خطوة 2.3.11.3

أعِد ترتيب $\sec (t)$ و $- 1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

خطوة 2.3.12

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t$

خطوة 2.3.13

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t$

خطوة 2.3.14

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

خطوة 2.3.15

أضف $1$ و $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t$

خطوة 2.3.16

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

خطوة 2.3.17

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

خطوة 2.3.18

أضف $2$ و $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

خطوة 2.3.19

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

خطوة 2.3.20

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

خطوة 2.3.21

تكامل $\sec (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}) + \int \sec^{3} (t) d t)$

خطوة 2.3.22

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.22.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}) - \int \sec^{3} (t) d t$

خطوة 2.3.22.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}) - \int \sec^{3} (t) d t$

خطوة 2.3.23

بإيجاد قيمة $\int \sec^{3} (t) d t$ ، وجدنا أن $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2})}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2})}{2} + C_{3}$

خطوة 2.3.24

اضرب $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}$ في $1$ .

$y + C_{1} = \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}}{2} + C_{3}$

خطوة 2.3.25

بسّط.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C_{4}$

خطوة 2.3.26

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arctan (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y = \frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C$