حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = x - 2 y \cot (2 x)$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $2 y \cot (2 x)$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} + 2 y \cot (2 x) = x$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $y$ من $2 y \cot (2 x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (2 \cot (2 x)) = x$

خطوة 1.3

أعِد ترتيب $y$ و $2 \cot (2 x)$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 \cot (2 x) y = x$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 2 \cot (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 2 \cot (2 x) d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $2 \cot (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{2 \int \cot (2 x) d x}$

خطوة 2.2.2

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.2.2.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 2.2.2.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{2 \int \cot (u) \frac{1}{2} d u}$

خطوة 2.2.3

اجمع $\cot (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 \int \frac{\cot (u)}{2} d u}$

خطوة 2.2.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$e^{2 (\frac{1}{2} \int \cot (u) d u)}$

خطوة 2.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$e^{\frac{2}{2} \int \cot (u) d u}$

خطوة 2.2.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{2}{2} \int \cot (u) d u}$

خطوة 2.2.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{1 \int \cot (u) d u}$

خطوة 2.2.5.3

اضرب $\int \cot (u) d u$ في $1$ .

$e^{\int \cot (u) d u}$

خطوة 2.2.6

تكامل $\cot (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| \sin (u) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (u) |) + C}$

خطوة 2.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$e^{\ln (| \sin (2 x) |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{\ln (\sin (2 x))}$

خطوة 2.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$\sin (2 x)$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\sin (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + \sin (2 x) (2 \cot (2 x) y) = \sin (2 x) x$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة من حيث الجيوب وجيوب التمام، ثم احذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

انقُل الأقواس.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + \sin (2 x) (2 \cot (2 x)) y = \sin (2 x) x$

خطوة 3.2.2

أعِد ترتيب $\sin (2 x)$ و $2 \cot (2 x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cot (2 x) \sin (2 x) y = \sin (2 x) x$

خطوة 3.2.3

أضف الأقواس.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 (\cot (2 x) \sin (2 x)) y = \sin (2 x) x$

خطوة 3.2.4

أعِد كتابة $\sin (2 x) (2 \cot (2 x) y)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 (\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (2 x)) y = \sin (2 x) x$

خطوة 3.2.5

ألغِ العوامل المشتركة.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = \sin (2 x) x$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب العوامل في $\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = \sin (2 x) x$ .

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 y \cos (2 x) = x \sin (2 x)$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x) y] = x \sin (2 x)$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (2 x) y] d x = \int x \sin (2 x) d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\sin (2 x) y = \int x \sin (2 x) d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) y = x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع $\cos (2 x)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

خطوة 7.2.2

اجمع $x$ و $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

خطوة 7.3

بما أن $- \frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- \frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

خطوة 7.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

خطوة 7.4.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x$

خطوة 7.5

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 7.5.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 7.5.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 7.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

خطوة 7.6

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

خطوة 7.7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

خطوة 7.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

خطوة 7.8.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u$

خطوة 7.9

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$

خطوة 7.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.10.1

أعِد كتابة $- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

خطوة 7.10.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.10.2.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

خطوة 7.10.2.2

اجمع $\cos (2 x)$ و $\frac{x}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

خطوة 7.11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

خطوة 7.12

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x}{2} \cdot \cos (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

خطوة 8.1.2

اجمع $\cos (2 x)$ و $\frac{x}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

خطوة 8.2

اقسِم كل حد في $\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$ على $\sin (2 x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اقسِم كل حد في $\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$ على $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x) y}{\sin (2 x)} = \frac{- \frac{\cos (2 x) x}{2}}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

خطوة 8.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sin (2 x) y}{\sin (2 x)} = \frac{- \frac{\cos (2 x) x}{2}}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

خطوة 8.2.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- \frac{\cos (2 x) x}{2}}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

خطوة 8.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

خطوة 8.2.3.1.2

حوّل من $\frac{1}{\sin (2 x)}$ إلى $\csc (2 x)$ .

$y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} \csc (2 x) + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

خطوة 8.2.3.1.3

اجمع $\csc (2 x)$ و $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ .

$y = - \frac{\csc (2 x) (\cos (2 x) x)}{2} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

خطوة 8.2.3.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

خطوة 8.2.3.1.4.2

اقسِم $\frac{1}{4}$ على $1$ .

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

خطوة 8.2.3.1.5

افصِل الكسور.

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

خطوة 8.2.3.1.6

حوّل من $\frac{1}{\sin (2 x)}$ إلى $\csc (2 x)$ .

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{C}{1} \csc (2 x)$

خطوة 8.2.3.1.7

اقسِم $C$ على $1$ .

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + C \csc (2 x)$

خطوة 8.2.3.2

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + C \csc (2 x)$ .

$y = - \frac{x \csc (2 x) \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} + C \csc (2 x)$