حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (\ln (y) - \ln (x) + 1)}{x}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة الدالة $\frac{y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (\ln (\frac{y}{x}) + 1)}{x}$

خطوة 1.2

أخرِج عامل $\frac{y}{x}$ من $\frac{y (\ln (\frac{y}{x}) + 1)}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $\frac{y}{x}$ من $\frac{y (\ln (\frac{y}{x}) + 1)}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} (\ln (\frac{y}{x}) + 1)$

خطوة 1.2.2

أعِد ترتيب $\frac{y}{x}$ و $\ln (\frac{y}{x}) + 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (\ln (\frac{y}{x}) + 1) \frac{y}{x}$

خطوة 2

افترض أن $V = \frac{y}{x}$ . عوّض بـ $V$ عن $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (\ln (V) + 1) V$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ في $V = \frac{y}{x}$ .

$y = V x$

خطوة 4

استخدِم قاعدة الضرب لإيجاد مشتق $y = V x$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

خطوة 5

عوّض بقيمة $\frac{d y}{d x}$ التي تساوي $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = (\ln (V) + 1) V$

خطوة 6

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d V}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

بسّط $(\ln (V) + 1) V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.1

أعِد الكتابة.

$x \frac{d V}{d x} + V = 0 + 0 + (\ln (V) + 1) V$

خطوة 6.1.1.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$x \frac{d V}{d x} + V = (\ln (V) + 1) V$

خطوة 6.1.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x \frac{d V}{d x} + V = \ln (V) V + 1 V$

خطوة 6.1.1.1.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.4.1

اضرب $V$ في $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \ln (V) V + V$

خطوة 6.1.1.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (V) V + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V \ln (V) + V$

خطوة 6.1.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d V}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1

اطرح $V$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) + V - V$

خطوة 6.1.1.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $V \ln (V) + V - V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.2.1

اطرح $V$ من $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) + 0$

خطوة 6.1.1.2.2.2

أضف $V \ln (V)$ و $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V)$

خطوة 6.1.1.3

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V)$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V)$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x}$

خطوة 6.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x}$

خطوة 6.1.1.3.2.1.2

اقسِم $\frac{d V}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x}$

خطوة 6.1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{V \ln (V)}$ .

$\frac{1}{V \ln (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V \ln (V)} \cdot \frac{V \ln (V)}{x}$

خطوة 6.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $V \ln (V)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{V \ln (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V \ln (V)} \cdot \frac{V \ln (V)}{x}$

خطوة 6.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{V \ln (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{V \ln (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{V \ln (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

لنفترض أن $u = \ln (V)$ . إذن $d u = \frac{1}{V} d V$ ، لذا $V d u = d V$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

افترض أن $u = \ln (V)$ . أوجِد $\frac{d u}{d V}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (V)$ .

$\frac{d}{d V} [\ln (V)]$

خطوة 6.2.2.1.1.2

مشتق $\ln (V)$ بالنسبة إلى $V$ يساوي $\frac{1}{V}$ .

$\frac{1}{V}$

خطوة 6.2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\ln (V)$ .

$\ln (| \ln (V) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| \ln (V) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 6.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| \ln (V) |) = \ln (| x |) + C$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| \ln (V) |) - \ln (| x |) = C$

خطوة 6.3.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \ln (V) |}{| x |}) = C$

خطوة 6.3.3

لإيجاد قيمة $V$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| \ln (V) |}{| x |})} = e^{C}$

خطوة 6.3.4

أعِد كتابة $\ln (\frac{| \ln (V) |}{| x |}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| \ln (V) |}{| x |}$

خطوة 6.3.5

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| \ln (V) |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| \ln (V) |}{| x |} = e^{C}$

خطوة 6.3.5.2

اضرب كلا الطرفين في $| x |$ .

$\frac{| \ln (V) |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

خطوة 6.3.5.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $| x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| \ln (V) |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

خطوة 6.3.5.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| \ln (V) | = e^{C} | x |$

خطوة 6.3.5.4

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.4.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{C} | x |$ .

$| \ln (V) | = | x | e^{C}$

خطوة 6.3.5.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$\ln (V) = \pm | x | e^{C}$

خطوة 6.3.5.4.3

لإيجاد قيمة $V$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (V)} = e^{\pm | x | e^{C}}$

خطوة 6.3.5.4.4

أعِد كتابة $\ln (V) = \pm | x | e^{C}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\pm | x | e^{C}} = V$

خطوة 6.3.5.4.5

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.4.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $V = e^{\pm | x | e^{C}}$ .

$V = e^{\pm | x | e^{C}}$

خطوة 6.3.5.4.5.2

أعِد ترتيب العوامل في $e^{\pm | x | e^{C}}$ .

$V = e^{\pm e^{C} | x |}$

خطوة 6.4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

بسّط ثابت التكامل.

$V = e^{\pm C | x |}$

خطوة 6.4.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$V = e^{C | x |}$

خطوة 7

عوّض بقيمة $V$ التي تساوي $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = e^{C | x |}$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ في $\frac{y}{x} = e^{C | x |}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{y}{x} x = e^{C | x |} x$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} x = e^{C | x |} x$

خطوة 8.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = e^{C | x |} x$

خطوة 8.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{C | x |} x$ .

$y = x e^{C | x |}$