حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x (1 - y) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(x \cdot 1 + x (- y)) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

خطوة 1.1.1.2

اضرب $x$ في $1$ .

$(x + x (- y)) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

خطوة 1.1.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(x - x y) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

خطوة 1.1.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

خطوة 1.1.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} + 1 y - x y = 0$

خطوة 1.1.1.6

اضرب $y$ في $1$ .

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} + y - x y = 0$

خطوة 1.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d y}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} - x y = - y$

خطوة 1.1.2.2

أضف $x y$ إلى كلا المتعادلين.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} = - y + x y$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $x \frac{d y}{d x}$ من $x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أخرِج العامل $x \frac{d y}{d x}$ من $x \frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - x y \frac{d y}{d x} = - y + x y$

خطوة 1.1.3.2

أخرِج العامل $x \frac{d y}{d x}$ من $- x y \frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} \cdot 1 + x \frac{d y}{d x} (- 1 y) = - y + x y$

خطوة 1.1.3.3

أخرِج العامل $x \frac{d y}{d x}$ من $x \frac{d y}{d x} \cdot 1 + x \frac{d y}{d x} (- 1 y)$ .

$x \frac{d y}{d x} (1 - 1 y) = - y + x y$

خطوة 1.1.4

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$x \frac{d y}{d x} (1 - y) = - y + x y$

خطوة 1.1.5

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} (1 - y) = - y + x y$ على $x (1 - y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} (1 - y) = - y + x y$ على $x (1 - y)$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} (1 - y)}{x (1 - y)} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

خطوة 1.1.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (1 - y)}{x (1 - y)} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

خطوة 1.1.5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

خطوة 1.1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

خطوة 1.1.5.2.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

خطوة 1.1.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

خطوة 1.1.5.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

خطوة 1.1.5.3.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y}{1 - y}$

خطوة 1.1.5.3.2

لكتابة $\frac{y}{1 - y}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{x}{x}$

خطوة 1.1.5.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $x (1 - y)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.3.3.1

اضرب $\frac{y}{1 - y}$ في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y x}{(1 - y) x}$

خطوة 1.1.5.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $(1 - y) x$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y x}{x (1 - y)}$

خطوة 1.1.5.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y + y x}{x (1 - y)}$

خطوة 1.1.5.3.5

أخرِج العامل $y$ من $- y + y x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.3.5.1

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1 + y x}{x (1 - y)}$

خطوة 1.1.5.3.5.2

أخرِج العامل $y$ من $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1 + y (x)}{x (1 - y)}$

خطوة 1.1.5.3.5.3

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot - 1 + y (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 + x)}{x (1 - y)}$

خطوة 1.1.5.3.6

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (1) + x)}{x (1 - y)}$

خطوة 1.1.5.3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (1) - 1 (- x))}{x (1 - y)}$

خطوة 1.1.5.3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - 1 (- x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (1 - x))}{x (1 - y)}$

خطوة 1.1.5.3.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (1 - x)}{x (1 - y)}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{x}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1 - y}{y}$ .

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - y}{y} (- \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{x})$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1 - y}{y} (\frac{y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{x})$

خطوة 1.4.2

اضرب $\frac{y}{1 - y}$ في $\frac{1 - x}{x}$ .

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1 - y}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

خطوة 1.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1 - y}{y}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- (1 - y)}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

خطوة 1.4.3.2

أخرِج العامل $1 - y$ من $- (1 - y)$ .

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

خطوة 1.4.3.3

أخرِج العامل $1 - y$ من $(1 - y) x$ .

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) (x)}$

خطوة 1.4.3.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

خطوة 1.4.3.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{x}$

خطوة 1.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{x}$

خطوة 1.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1 - x}{x}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1 - x}{x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1 - y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

خطوة 2.2.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

خطوة 2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

خطوة 2.2.3.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 1 d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 1 d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

خطوة 2.2.5

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| y |) + C_{1} - y + C_{2} = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$\ln (| y |) - y + C_{3} = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

خطوة 2.2.7

أعِد ترتيب الحدود.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{1 - x}{x} d x$

خطوة 2.3.2

أعِد ترتيب $1$ و $- x$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{- x + 1}{x} d x$

خطوة 2.3.3

اقسِم $- x + 1$ على $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$0$

$x$

$1$

خطوة 2.3.3.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				-	$1$
	$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$

خطوة 2.3.3.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$
			-	$x$	+	$0$

خطوة 2.3.3.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- x + 0$

			-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$
			+	$x$	-	$0$

خطوة 2.3.3.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$
			+	$x$	-	$0$
					+	$1$

خطوة 2.3.3.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int - 1 + \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\int - 1 d x + \int \frac{1}{x} d x)$

خطوة 2.3.5

طبّق قاعدة الثابت.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (- x + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x)$

خطوة 2.3.6

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (- x + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (- x + \ln (| x |)) + C_{6}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- y + \ln (| y |) = - (- x + \ln (| x |)) + C$