حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin (x) d y + y^{2} \cos (x) d x = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب المعادلة التفضيلية التامة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد الكتابة.

$y^{2} \cos (x) d x + \sin (x) d y = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y^{2} \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} \cos (x)]$

خطوة 2.2

بما أن $\cos (x)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $y^{2} \cos (x)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\cos (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) (2 y)$

خطوة 2.4

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (x)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot \cos (x) y$

خطوة 2.4.2

أعِد ترتيب عوامل $2 \cos (x) y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y \cos (x)$

خطوة 3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 3.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x)$

خطوة 4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $2 y \cos (x)$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $\cos (x)$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y \cos (x) = \cos (x)$

خطوة 4.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$2 y \cos (x) = \cos (x)$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 5

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $2 y \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) - (2 y \cos (x))}{M}$

خطوة 5.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y^{2} \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y^{2} \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) - (2 y \cos (x))}{y^{2} \cos (x)}$

خطوة 5.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\cos (x) - 1 \cdot 2 y \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

اضرب في $1$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 1 - 1 \cdot 2 y \cos (x)}{y^{2} \cos (x)}$

خطوة 5.3.2.1.2

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $- 1 \cdot 2 y \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 1 \cdot 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

خطوة 5.3.2.1.3

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 1 \cdot 2 y)$ .

$\frac{\cos (x) (1 - 1 \cdot 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

خطوة 5.3.2.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{\cos (x) (1 - 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

خطوة 5.3.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y^{2} \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\cos (x) (1 - 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

خطوة 5.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 - 2 y}{y^{2}}$

خطوة 5.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1 - 2 y}{y^{2}} d y}$

خطوة 6

احسِب قيمة تكامل $e^{\int \frac{1 - 2 y}{y^{2}} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

انقُل $y^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{\int (1 - 2 y) {(y^{2})}^{- 1} d y}$

خطوة 6.1.2

اضرب الأُسس في ${(y^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = e^{\int (1 - 2 y) y^{2 \cdot - 1} d y}$

خطوة 6.1.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{\int (1 - 2 y) y^{- 2} d y}$

خطوة 6.2

اضرب $(1 - 2 y) y^{- 2}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 1 y^{- 2} - 2 y \cdot y^{- 2} d y}$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب $y^{- 2}$ في $1$ .

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 y \cdot y^{- 2} d y}$

خطوة 6.3.2

اضرب $y$ في $y^{- 2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

انقُل $y^{- 2}$ .

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 (y^{- 2} y) d y}$

خطوة 6.3.2.2

اضرب $y^{- 2}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 (y^{- 2} y^{1}) d y}$

خطوة 6.3.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 y^{- 2 + 1} d y}$

خطوة 6.3.2.3

أضف $- 2$ و $1$ .

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 y^{- 1} d y}$

خطوة 6.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} d y + \int - 2 y^{- 1} d y}$

خطوة 6.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{- 2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $- y^{- 1}$ .

$μ (x, y) = e^{- y^{- 1} + C + \int - 2 y^{- 1} d y}$

خطوة 6.6

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- y^{- 1} + C - 2 \int y^{- 1} d y}$

خطوة 6.7

تكامل $y^{- 1}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- y^{- 1} + C - 2 (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 6.8

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (| y |)} + C$

خطوة 6.9

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.9.1

بسّط $- 2 \ln (| y |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{y} - \ln ({| y |}^{2})} + C$

خطوة 6.9.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| y |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} + C$

خطوة 7

اضرب كلا طرفي $y^{2} \cos (x) d x + \sin (x) d y = 0$ في عامل التكامل $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $y^{2} \cos (x)$ في $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ .

$y^{2} \cos (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} d x + \sin (x) d y = 0$

خطوة 7.2

أعِد ترتيب العوامل في $y^{2} \cos (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ .

$y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x + \sin (x) d y = 0$

خطوة 7.3

اضرب $\sin (x)$ في $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ .

$y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x + \sin (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} d y = 0$

خطوة 7.4

أعِد ترتيب العوامل في $\sin (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ .

$y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x + e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) d y = 0$

خطوة 8

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x$

خطوة 9

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x)$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x)$ بالصيغة $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))} \cos (x)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))} \cos (x) d x$

خطوة 9.2

بما أن $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))} \int \cos (x) d x$

خطوة 9.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \int \cos (x) d x$

خطوة 9.4

تكامل $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\sin (x)$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\sin (x) + C)$

خطوة 9.5

بسّط.

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + C$

خطوة 10

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)$

خطوة 11

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

بما أن $\sin (x)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}]$ .

$\sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = y^{2}$ و $g (y) = e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}$ .

$\sin (x) (y^{2} \frac{d}{d y} [e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}] + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = e^{y}$ و $g (y) = - \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ .

$\sin (x) (y^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)]) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{u} \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)]) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)]) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.3.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)]$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = - 1$ و $g (y) = \frac{1}{y}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.3.6

أعِد كتابة $\frac{1}{y}$ بالصيغة $y^{- 1}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.3.8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.3.9

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 2 \ln (y)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 2 \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.3.10

مشتق $\ln (y)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{1}{y}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.3.12

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (1 y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.3.13

اضرب $y^{- 2}$ في $1$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.3.14

اضرب $\frac{1}{y}$ في $0$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} + 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.3.15

أضف $y^{- 2}$ و $0$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.3.16

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{y}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} + \frac{- 2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.3.17

انقُل السالب أمام الكسر.

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} - \frac{2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} - \frac{2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y}))) + \sin (x) (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.5.3

احذِف الأقواس.

$\sin (x) y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y})) + \sin (x) e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.5.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.5.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) \frac{1}{y^{2}} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (- \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.5.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.5.2.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d y} + y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)) \frac{1}{y^{2}} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (- \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.5.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 12.5.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (- \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.5.5.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) \frac{2}{y} + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.5.5.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.5.4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.5.4.1.1

أخرِج العامل $y$ من $- e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + y (- e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)) \frac{2}{y} + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.5.5.4.1.2

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 12.5.5.4.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) \cdot 2 + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.5.5.4.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.5.6

جمّع الحدود المتعاكسة في $\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.6.1

أضف $- 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)$ و $2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + 0 = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 12.5.6.2

أضف $\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

خطوة 13

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) = - \frac{d g}{d y}$

خطوة 13.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.2.1

بسّط $e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.2.1.1

بسّط $- 2 \ln (y)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) = - \frac{d g}{d y}$

خطوة 13.1.2.1.2

اطرح $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$ من $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$ .

$0 = - \frac{d g}{d y}$

خطوة 13.1.3

بما أن $\frac{d g}{d y}$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$- \frac{d g}{d y} = 0$

خطوة 13.1.4

اقسِم كل حد في $- \frac{d g}{d y} = 0$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.4.1

اقسِم كل حد في $- \frac{d g}{d y} = 0$ على $- 1$ .

$\frac{- \frac{d g}{d y}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

خطوة 13.1.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.4.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\frac{d g}{d y}}{1} = \frac{0}{- 1}$

خطوة 13.1.4.2.2

اقسِم $\frac{d g}{d y}$ على $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{0}{- 1}$

خطوة 13.1.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.4.3.1

اقسِم $0$ على $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

خطوة 14

أوجِد المشتق العكسي لـ $0$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

خطوة 14.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

خطوة 14.3

تكامل $0$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$g (y) = 0 + C$

خطوة 14.4

أضف $0$ و $C$ .

$g (y) = C$

خطوة 15

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + C$

خطوة 16

بسّط $- 2 \ln (y)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) + C$