حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x y \frac{d y}{d x} + y^{2} - 2 x = 0$

خطوة 1

لنفترض أن $v = y^{2}$ . استبدِل $v$ بجميع حالات حدوث $y^{2}$ .

$2 x y \frac{d y}{d x} + v - 2 x = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{d v}{d x}$ بإيجاد مشتقة $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 u \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y y'$

خطوة 3

عوّض بالمشتق مجددًا في المعادلة التفاضلية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $2 y$ من $2 x y$ .

$2 y (x) \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} + v - 2 x = 0$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 y x \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} + v - 2 x = 0$

خطوة 3.3

أعِد كتابة العبارة.

$x \frac{d v}{d x} + v - 2 x = 0$

خطوة 4

أضف $2 x$ إلى كلا المتعادلين.

$x \frac{d v}{d x} + v = 2 x$

خطوة 5

تحقق مما إذا كان المتعادل الأيسر هو نتيجة مشتق الحد $x v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = v$ .

$x \frac{d}{d x} [v] + v \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [v]$ بالصيغة $v'$ .

$x v' + v \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x v' + v \cdot 1$

خطوة 5.4

عوّض بقيمة $v'$ التي تساوي $\frac{d v}{d x}$ .

$x \frac{d v}{d x} + v \cdot 1$

خطوة 5.5

أعِد ترتيب $v$ و $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + 1 \cdot v$

خطوة 5.6

اضرب $v$ في $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v$

خطوة 6

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x v] = 2 x$

خطوة 7

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int 2 x d x$

خطوة 8

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x v = \int 2 x d x$

خطوة 9

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$x v = 2 \int x d x$

خطوة 9.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 9.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$x v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

خطوة 9.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$x v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

خطوة 9.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

خطوة 9.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x v = 1 x^{2} + C$

خطوة 9.3.2.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$x v = x^{2} + C$

خطوة 10

اقسِم كل حد في $x v = x^{2} + C$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اقسِم كل حد في $x v = x^{2} + C$ على $x$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 10.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x v}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 10.2.1.2

اقسِم $v$ على $1$ .

$v = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 10.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$v = \frac{x \cdot x}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 10.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$v = \frac{x \cdot x}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

خطوة 10.3.1.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$v = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

خطوة 10.3.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$v = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

خطوة 10.3.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$v = \frac{x}{1} + \frac{C}{x}$

خطوة 10.3.1.2.5

اقسِم $x$ على $1$ .

$v = x + \frac{C}{x}$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $v$ بـ $y^{2}$ .

$y^{2} = x + \frac{C}{x}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{x + \frac{C}{x}}$

خطوة 12.2

بسّط $\pm \sqrt{x + \frac{C}{x}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

لكتابة $x$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x}{x} + \frac{C}{x}}$

خطوة 12.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x + C}{x}}$

خطوة 12.2.3

اضرب $x$ في $x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + C}{x}}$

خطوة 12.2.4

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{x^{2} + C}{x}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$

خطوة 12.2.5

اضرب $\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ في $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

خطوة 12.2.6

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.6.1

اضرب $\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ في $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

خطوة 12.2.6.2

ارفع $\sqrt{x}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

خطوة 12.2.6.3

ارفع $\sqrt{x}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

خطوة 12.2.6.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

خطوة 12.2.6.5

أضف $1$ و $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

خطوة 12.2.6.6

أعِد كتابة ${\sqrt{x}}^{2}$ بالصيغة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.6.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 12.2.6.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 12.2.6.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 12.2.6.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.6.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 12.2.6.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{1}}$

خطوة 12.2.6.6.5

بسّط.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x}$

خطوة 12.2.7

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} + C) x}}{x}$

خطوة 12.2.8

أعِد ترتيب العوامل في $\pm \frac{\sqrt{(x^{2} + C) x}}{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

خطوة 12.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

خطوة 12.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

خطوة 12.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$