حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} = - 1 - 2 r \cos (θ)$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d r}{d θ} + M (θ) r = Q (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $2 r \cos (θ)$ إلى كلا المتعادلين.

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 r \cos (θ) = - 1$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $r$ من $2 r \cos (θ)$ .

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + r (2 \cos (θ)) = - 1$

خطوة 1.3

أعِد ترتيب $r$ و $2 \cos (θ)$ .

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \cos (θ) r = - 1$

خطوة 1.4

اقسِم كل حد في $\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \cos (θ) r = - 1$ على $\sin (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) \frac{d r}{d θ}}{\sin (θ)} + \frac{2 \cos (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{- 1}{\sin (θ)}$

خطوة 1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sin (θ) \frac{d r}{d θ}}{\sin (θ)} + \frac{2 \cos (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{- 1}{\sin (θ)}$

خطوة 1.5.2

اقسِم $\frac{d r}{d θ}$ على $1$ .

$\frac{d r}{d θ} + \frac{2 \cos (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{- 1}{\sin (θ)}$

خطوة 1.6

أخرِج العامل $r$ من $\frac{2 \cos (θ) r}{\sin (θ)}$ .

$\frac{d r}{d θ} + r \frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)} = \frac{- 1}{\sin (θ)}$

خطوة 1.7

أعِد ترتيب $r$ و $\frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{d r}{d θ} + \frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)} r = \frac{- 1}{\sin (θ)}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (θ) d θ}$ ، حيث $P (θ) = \frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)} d θ}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $\frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

افصِل الكسور.

$e^{\int \frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} d θ}$

خطوة 2.2.2

حوّل من $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ إلى $\cot (θ)$ .

$e^{\int \frac{2}{1} \cot (θ) d θ}$

خطوة 2.2.3

اقسِم $2$ على $1$ .

$e^{\int 2 \cot (θ) d θ}$

خطوة 2.2.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{2 \int \cot (θ) d θ}$

خطوة 2.2.5

تكامل $\cot (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ هو $\ln (| \sin (θ) |)$ .

$e^{2 (\ln (| \sin (θ) |) + C)}$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$e^{2 \ln (| \sin (θ) |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{2 \ln (\sin (θ))}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (\sin^{2} (θ))}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$\sin^{2} (θ)$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\sin^{2} (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\sin^{2} (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + \sin^{2} (θ) (\frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)} r) = \sin^{2} (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

افصِل الكسور.

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + \sin^{2} (θ) (\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} r) = \sin^{2} (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

خطوة 3.2.2

حوّل من $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ إلى $\cot (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + \sin^{2} (θ) (\frac{2}{1} \cot (θ) r) = \sin^{2} (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

خطوة 3.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + \frac{2}{1} \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = \sin^{2} (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

خطوة 3.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = \sin^{2} (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $\sin (θ)$ من $\sin^{2} (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = \sin (θ) \sin (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = \sin (θ) \sin (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = \sin (θ) \cdot - 1$

خطوة 3.4

انقُل $- 1$ إلى يسار $\sin (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = - 1 \cdot \sin (θ)$

خطوة 3.5

أعِد كتابة $- 1 \sin (θ)$ بالصيغة $- \sin (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = - \sin (θ)$

خطوة 3.6

أعِد ترتيب العوامل في $\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = - \sin (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 r \sin^{2} (θ) \cot (θ) = - \sin (θ)$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ) r] = - \sin (θ)$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ) r] d θ = \int - \sin (θ) d θ$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\sin^{2} (θ) r = \int - \sin (θ) d θ$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\sin^{2} (θ) r = - \int \sin (θ) d θ$

خطوة 7.2

تكامل $\sin (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ هو $- \cos (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) r = - (- \cos (θ) + C)$

خطوة 7.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط.

$\sin^{2} (θ) r = - - \cos (θ) + C$

خطوة 7.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\sin^{2} (θ) r = 1 \cos (θ) + C$

خطوة 7.3.2.2

اضرب $\cos (θ)$ في $1$ .

$\sin^{2} (θ) r = \cos (θ) + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $\sin^{2} (θ) r = \cos (θ) + C$ على $\sin^{2} (θ)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $\sin^{2} (θ) r = \cos (θ) + C$ على $\sin^{2} (θ)$ .

$\frac{\sin^{2} (θ) r}{\sin^{2} (θ)} = \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin^{2} (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sin^{2} (θ) r}{\sin^{2} (θ)} = \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $r$ على $1$ .

$r = \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

أخرِج العامل $\sin (θ)$ من $\sin^{2} (θ)$ .

$r = \frac{\cos (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)} + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

خطوة 8.3.1.2

افصِل الكسور.

$r = \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

خطوة 8.3.1.3

حوّل من $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ إلى $\cot (θ)$ .

$r = \frac{1}{\sin (θ)} \cot (θ) + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

خطوة 8.3.1.4

حوّل من $\frac{1}{\sin (θ)}$ إلى $\csc (θ)$ .

$r = \csc (θ) \cot (θ) + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

خطوة 8.3.1.5

اضرب في $1$ .

$r = \csc (θ) \cot (θ) + \frac{C}{\sin^{2} (θ) \cdot 1}$

خطوة 8.3.1.6

افصِل الكسور.

$r = \csc (θ) \cot (θ) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (θ)}$

خطوة 8.3.1.7

حوّل من $\frac{1}{\sin^{2} (θ)}$ إلى $\csc^{2} (θ)$ .

$r = \csc (θ) \cot (θ) + \frac{C}{1} \csc^{2} (θ)$

خطوة 8.3.1.8

اقسِم $C$ على $1$ .

$r = \csc (θ) \cot (θ) + C \csc^{2} (θ)$