حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x {(y^{2} + 1)}^{4}}{y (x + 2)}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 2} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{4}}{y}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}}$ .

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} (\frac{x}{x + 2} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{4}}{y})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $\frac{x}{x + 2}$ في $\frac{{(y^{2} + 1)}^{4}}{y}$ .

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \cdot \frac{x {(y^{2} + 1)}^{4}}{(x + 2) y}$

خطوة 1.3.2

اجمع.

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (x {(y^{2} + 1)}^{4})}{{(y^{2} + 1)}^{4} ((x + 2) y)}$

خطوة 1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (x {(y^{2} + 1)}^{4})}{{(y^{2} + 1)}^{4} ((x + 2) y)}$

خطوة 1.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{x {(y^{2} + 1)}^{4}}{{(y^{2} + 1)}^{4} (x + 2)}$

خطوة 1.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ ${(y^{2} + 1)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{x {(y^{2} + 1)}^{4}}{{(y^{2} + 1)}^{4} (x + 2)}$

خطوة 1.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 2}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} d y = \frac{x}{x + 2} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} d y = \int \frac{x}{x + 2} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u_{1} = y^{2} + 1$ . إذن $d u_{1} = 2 y d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u_{1} = y^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.1.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$2 y + 0$

خطوة 2.2.1.1.5

أضف $2 y$ و $0$ .

$2 y$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{4}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب $\frac{1}{{u_{1}}^{4}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{4} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

خطوة 2.2.2.2

انقُل $2$ إلى يسار ${u_{1}}^{4}$ .

$\int \frac{1}{2 {u_{1}}^{4}} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{4}} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

خطوة 2.2.4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

انقُل ${u_{1}}^{4}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{4})}^{- 1} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

خطوة 2.2.4.2

اضرب الأُسس في ${({u_{1}}^{4})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{4 \cdot - 1} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

خطوة 2.2.4.2.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- 4} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

خطوة 2.2.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{1}}^{- 4}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $- \frac{1}{3} {u_{1}}^{- 3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} {u_{1}}^{- 3} + C_{1}) = \int \frac{x}{x + 2} d x$

خطوة 2.2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

أعِد كتابة $\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} {u_{1}}^{- 3} + C_{1})$ بالصيغة $\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{3}}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{3}}) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

خطوة 2.2.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.2.1

اضرب $\frac{1}{{u_{1}}^{3}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{{u_{1}}^{3} \cdot 3}) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

خطوة 2.2.6.2.2

انقُل $3$ إلى يسار ${u_{1}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3 \cdot {u_{1}}^{3}}) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

خطوة 2.2.6.2.3

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{3 {u_{1}}^{3}}$ .

$- \frac{1}{2 (3 {u_{1}}^{3})} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

خطوة 2.2.6.2.4

اضرب $3$ في $2$ .

$- \frac{1}{6 {u_{1}}^{3}} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

خطوة 2.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم $x$ على $x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$2$

$x$

$0$

خطوة 2.3.1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$1$
	$x$	+	$2$		$x$	+	$0$

خطوة 2.3.1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$2$

خطوة 2.3.1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x + 2$

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$

خطوة 2.3.1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$
					-	$2$

خطوة 2.3.1.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = \int 1 - \frac{2}{x + 2} d x$

خطوة 2.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = \int d x + \int - \frac{2}{x + 2} d x$

خطوة 2.3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{2}{x + 2} d x$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{2}{x + 2} d x$

خطوة 2.3.5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

خطوة 2.3.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x + 2} d x$

خطوة 2.3.7

لنفترض أن $u_{2} = x + 2$ . إذن $d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

افترض أن $u_{2} = x + 2$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1.1

أوجِد مشتقة $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

خطوة 2.3.7.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.3.7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.3.7.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.3.7.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.3.7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.8

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x + C_{2} - 2 (\ln (| u_{2} |) + C_{3})$

خطوة 2.3.9

بسّط.

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x - 2 \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

خطوة 2.3.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x + 2$ .

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x - 2 \ln (| x + 2 |) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} = x - 2 \ln (| x + 2 |) + C$