حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 4}{- 3 y^{2}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} + 4}{- 3 y^{2}}$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $- 3 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} + 4}{y^{2} \cdot - 3}$

خطوة 1.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} + 4}{y^{2} \cdot - 3}$

خطوة 1.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 4}{- 3}$

خطوة 1.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} + 4}{3}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$y^{2} d y = - \frac{x^{2} + 4}{3} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y^{2} d y = \int - \frac{x^{2} + 4}{3} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{x^{2} + 4}{3} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{x^{2} + 4}{3} d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int x^{2} + 4 d x)$

خطوة 2.3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} (\int x^{2} d x + \int 4 d x)$

خطوة 2.3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 4 d x)$

خطوة 2.3.5

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 x + C_{3})$

خطوة 2.3.6

بسّط.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 4 x) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 4 x) + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 4 x) + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 4 x) + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 4 x) + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 4 x) + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $3 (- \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 4 x) + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + 4 x) + K)$

خطوة 3.2.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (4 x) + K)$

خطوة 3.2.2.1.1.3

اضرب $- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.3.1

اضرب $\frac{x^{3}}{3}$ في $\frac{1}{3}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{3 \cdot 3} - \frac{1}{3} (4 x) + K)$

خطوة 3.2.2.1.1.3.2

اضرب $3$ في $3$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{9} - \frac{1}{3} (4 x) + K)$

خطوة 3.2.2.1.1.4

اضرب $- \frac{1}{3} (4 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.4.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{9} - 4 (\frac{1}{3}) x + K)$

خطوة 3.2.2.1.1.4.2

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{3}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{9} + \frac{- 4}{3} x + K)$

خطوة 3.2.2.1.1.4.3

اجمع $\frac{- 4}{3}$ و $x$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{9} + \frac{- 4 x}{3} + K)$

خطوة 3.2.2.1.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{9} - \frac{4 x}{3} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{9}) + 3 (- \frac{4 x}{3}) + 3 K$

خطوة 3.2.2.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{x^{3}}{9}$ إلى بسط الكسر.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{3}}{9} + 3 (- \frac{4 x}{3}) + 3 K$

خطوة 3.2.2.1.3.1.2

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$y^{3} = 3 \frac{- x^{3}}{3 (3)} + 3 (- \frac{4 x}{3}) + 3 K$

خطوة 3.2.2.1.3.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{3}}{3 \cdot 3} + 3 (- \frac{4 x}{3}) + 3 K$

خطوة 3.2.2.1.3.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} = \frac{- x^{3}}{3} + 3 (- \frac{4 x}{3}) + 3 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{4 x}{3}$ إلى بسط الكسر.

$y^{3} = \frac{- x^{3}}{3} + 3 \frac{- 4 x}{3} + 3 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{3} = \frac{- x^{3}}{3} + 3 \frac{- 4 x}{3} + 3 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} = \frac{- x^{3}}{3} - 4 x + 3 K$

خطوة 3.2.2.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{3} = - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + 3 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x^{3}}{3} - 4 x + 3 K}$

خطوة 3.4

بسّط $\sqrt[3]{- \frac{x^{3}}{3} - 4 x + 3 K}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لكتابة $- 4 x$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{x^{3}}{3} - 4 x \cdot \frac{3}{3} + 3 K}$

خطوة 3.4.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اجمع $- 4 x$ و $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 4 x \cdot 3}{3} + 3 K}$

خطوة 3.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \sqrt[3]{\frac{- x^{3} - 4 x \cdot 3}{3} + 3 K}$

خطوة 3.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

أخرِج العامل $x$ من $- x^{3} - 4 x \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.1

أخرِج العامل $x$ من $- x^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2}) - 4 x \cdot 3}{3} + 3 K}$

خطوة 3.4.3.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- 4 x \cdot 3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2}) + x (- 4 \cdot 3)}{3} + 3 K}$

خطوة 3.4.3.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x (- x^{2}) + x (- 4 \cdot 3)$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2} - 4 \cdot 3)}{3} + 3 K}$

خطوة 3.4.3.2

اضرب $- 4$ في $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2} - 12)}{3} + 3 K}$

خطوة 3.4.4

لكتابة $3 K$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2} - 12)}{3} + 3 K \cdot \frac{3}{3}}$

خطوة 3.4.5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

اجمع $3 K$ و $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2} - 12)}{3} + \frac{3 K \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.4.5.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2} - 12) + 3 K \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.4.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2}) + x \cdot - 12 + 3 K \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.4.6.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y = \sqrt[3]{\frac{- x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + 3 K \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.4.6.3

انقُل $- 12$ إلى يسار $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- x \cdot x^{2} - 12 \cdot x + 3 K \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.4.6.4

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.4.1

انقُل $x^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- (x^{2} x) - 12 \cdot x + 3 K \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.4.6.4.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- (x^{2} x^{1}) - 12 \cdot x + 3 K \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.4.6.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \sqrt[3]{\frac{- x^{2 + 1} - 12 \cdot x + 3 K \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.4.6.4.3

أضف $2$ و $1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- x^{3} - 12 \cdot x + 3 K \cdot 3}{3}}$

$y = \sqrt[3]{\frac{- x^{3} - 12 x + 3 K \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.4.6.5

اضرب $3$ في $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- x^{3} - 12 x + 9 K}{3}}$

خطوة 3.4.7

أعِد كتابة $\sqrt[3]{\frac{- x^{3} - 12 x + 9 K}{3}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K}}{\sqrt[3]{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K}}{\sqrt[3]{3}}$

خطوة 3.4.8

اضرب $\frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K}}{\sqrt[3]{3}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K}}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$

خطوة 3.4.9

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.9.1

اضرب $\frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K}}{\sqrt[3]{3}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

خطوة 3.4.9.2

ارفع $\sqrt[3]{3}$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

خطوة 3.4.9.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

خطوة 3.4.9.4

أضف $1$ و $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}}$

خطوة 3.4.9.5

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.9.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

خطوة 3.4.9.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

خطوة 3.4.9.5.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 3.4.9.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.9.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 3.4.9.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}}$

خطوة 3.4.9.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3}$

خطوة 3.4.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.10.1

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ بالصيغة $\sqrt[3]{3^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} \sqrt[3]{3^{2}}}{3}$

خطوة 3.4.10.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} \sqrt[3]{9}}{3}$

خطوة 3.4.11

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.11.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \frac{\sqrt[3]{(- x^{3} - 12 x + 9 K) \cdot 9}}{3}$

خطوة 3.4.11.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\sqrt[3]{(- x^{3} - 12 x + 9 K) \cdot 9}}{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{9 (- x^{3} - 12 x + 9 K)}}{3}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt[3]{9 (- x^{3} - 12 x + K)}}{3}$