حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(2 x y + 2 y) d x - y d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 2 x y + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + 2 y]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x y + 2 y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 y]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 y]$

خطوة 1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [2 y]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 \cdot 1$

خطوة 1.4.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 2.2

بما أن $- y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $2 x + 2$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $0$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x + 2 = 0$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$2 x + 2 = 0$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $2 x + 2$ .

$\frac{0 - (2 x + 2)}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $2 x y + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $2 x y + 2 y$ .

$\frac{0 - (2 x + 2)}{2 x y + 2 y}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{0 - (2 x) - 1 \cdot 2}{2 x y + 2 y}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{0 - 2 x - 1 \cdot 2}{2 x y + 2 y}$

خطوة 4.3.2.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{0 - 2 x - 2}{2 x y + 2 y}$

خطوة 4.3.2.4

اطرح $- (- 2 x - 2)$ من $0$ .

$\frac{- 2 x - 2}{2 x y + 2 y}$

خطوة 4.3.2.5

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.5.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) - 2}{2 x y + 2 y}$

خطوة 4.3.2.5.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (- 1)}{2 x y + 2 y}$

خطوة 4.3.2.5.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (- x - 1)}{2 x y + 2 y}$

خطوة 4.3.3

أخرِج العامل $2 y$ من $2 x y + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $2 y$ من $2 x y$ .

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x) + 2 y}$

خطوة 4.3.3.2

أخرِج العامل $2 y$ من $2 y$ .

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x) + 2 y (1)}$

خطوة 4.3.3.3

أخرِج العامل $2 y$ من $2 y (x) + 2 y (1)$ .

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x + 1)}$

خطوة 4.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x + 1)}$

خطوة 4.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- x - 1}{y (x + 1)}$

خطوة 4.3.5

احذِف العامل المشترك لـ $- x - 1$ و $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{- (x) - 1}{y (x + 1)}$

خطوة 4.3.5.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{- (x) - 1 (1)}{y (x + 1)}$

خطوة 4.3.5.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1)}{y (x + 1)}$

خطوة 4.3.5.4

أعِد كتابة $- (x + 1)$ بالصيغة $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1)}{y (x + 1)}$

خطوة 4.3.5.5

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1 (x + 1)}{y (x + 1)}$

خطوة 4.3.5.6

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{y}$

خطوة 4.3.6

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $2 x y + 2 y$ .

$- \frac{1}{y}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 5.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 5.3

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

خطوة 5.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط $- \ln (| y |)$ بنقل $- 1$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

خطوة 5.4.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

خطوة 5.4.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(2 x y + 2 y) d x - y d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $2 x y + 2 y$ في $\frac{1}{y}$ .

$(2 x y + 2 y) \frac{1}{y} d x - y d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $2 x y + 2 y$ في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{2 x y + 2 y}{y} d x - y d y = 0$

خطوة 6.3

أخرِج العامل $2 y$ من $2 x y + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أخرِج العامل $2 y$ من $2 x y$ .

$\frac{2 y (x) + 2 y}{y} d x - y d y = 0$

خطوة 6.3.2

أخرِج العامل $2 y$ من $2 y$ .

$\frac{2 y (x) + 2 y (1)}{y} d x - y d y = 0$

خطوة 6.3.3

أخرِج العامل $2 y$ من $2 y (x) + 2 y (1)$ .

$\frac{2 y (x + 1)}{y} d x - y d y = 0$

خطوة 6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y (x + 1)}{y} d x - y d y = 0$

خطوة 6.4.2

اقسِم $2 (x + 1)$ على $1$ .

$2 (x + 1) d x - y d y = 0$

خطوة 6.5

طبّق خاصية التوزيع.

$(2 x + 2 \cdot 1) d x - y d y = 0$

خطوة 6.6

اضرب $2$ في $1$ .

$(2 x + 2) d x - y d y = 0$

خطوة 6.7

اضرب $- y$ في $\frac{1}{y}$ .

$(2 x + 2) d x - y \frac{1}{y} d y = 0$

خطوة 6.8

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$(2 x + 2) d x + y \cdot - 1 \frac{1}{y} d y = 0$

خطوة 6.8.2

ألغِ العامل المشترك.

$(2 x + 2) d x + y \cdot - 1 \frac{1}{y} d y = 0$

خطوة 6.8.3

أعِد كتابة العبارة.

$(2 x + 2) d x - 1 d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - 1 d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = - 1$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = - y + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = - y + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + 2$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [- y + g (x)] = 2 x + 2$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- y + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + 2$

خطوة 11.3

بما أن $- y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + 2$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = 2 x + 2$

خطوة 11.5

أضف $0$ و $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 2$

خطوة 12

أوجِد المشتق العكسي لـ $2 x + 2$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 2 x + 2$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x + 2 d x$

خطوة 12.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x + 2 d x$

خطوة 12.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$g (x) = \int 2 x d x + \int 2 d x$

خطوة 12.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$g (x) = 2 \int x d x + \int 2 d x$

خطوة 12.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 d x$

خطوة 12.6

طبّق قاعدة الثابت.

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 x + C$

خطوة 12.7

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 x + C$

خطوة 12.8

بسّط.

$g (x) = x^{2} + 2 x + C$

خطوة 13

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = - y + g (x)$ .

$f (x, y) = - y + x^{2} + 2 x + C$