حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 - 2 x}{3 y^{2} - 5}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $3 y^{2} - 5$ .

$(3 y^{2} - 5) \frac{d y}{d x} = (3 y^{2} - 5) \frac{4 - 2 x}{3 y^{2} - 5}$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4 - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$(3 y^{2} - 5) \frac{d y}{d x} = (3 y^{2} - 5) \frac{2 (2) - 2 x}{3 y^{2} - 5}$

خطوة 1.2.1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$(3 y^{2} - 5) \frac{d y}{d x} = (3 y^{2} - 5) \frac{2 (2) + 2 (- x)}{3 y^{2} - 5}$

خطوة 1.2.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (2) + 2 (- x)$ .

$(3 y^{2} - 5) \frac{d y}{d x} = (3 y^{2} - 5) \frac{2 (2 - x)}{3 y^{2} - 5}$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3 y^{2} - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$(3 y^{2} - 5) \frac{d y}{d x} = (3 y^{2} - 5) \frac{2 (2 - x)}{3 y^{2} - 5}$

خطوة 1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$(3 y^{2} - 5) \frac{d y}{d x} = 2 (2 - x)$

خطوة 1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(3 y^{2} - 5) \frac{d y}{d x} = 2 \cdot 2 + 2 (- x)$

خطوة 1.2.4

اضرب $2$ في $2$ .

$(3 y^{2} - 5) \frac{d y}{d x} = 4 + 2 (- x)$

خطوة 1.2.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$(3 y^{2} - 5) \frac{d y}{d x} = 4 - 2 x$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$(3 y^{2} - 5) d y = (4 - 2 x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int 3 y^{2} - 5 d y = \int 4 - 2 x d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 3 y^{2} d y + \int - 5 d y = \int 4 - 2 x d x$

خطوة 2.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int y^{2} d y + \int - 5 d y = \int 4 - 2 x d x$

خطوة 2.2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + \int - 5 d y = \int 4 - 2 x d x$

خطوة 2.2.4

طبّق قاعدة الثابت.

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) - 5 y + C_{2} = \int 4 - 2 x d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y^{3}$ .

$3 (\frac{y^{3}}{3} + C_{1}) - 5 y + C_{2} = \int 4 - 2 x d x$

خطوة 2.2.5.2

بسّط.

$y^{3} - 5 y + C_{3} = \int 4 - 2 x d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y^{3} - 5 y + C_{3} = \int 4 d x + \int - 2 x d x$

خطوة 2.3.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y^{3} - 5 y + C_{3} = 4 x + C_{4} + \int - 2 x d x$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$y^{3} - 5 y + C_{3} = 4 x + C_{4} - 2 \int x d x$

خطوة 2.3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{3} - 5 y + C_{3} = 4 x + C_{4} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

بسّط.

$y^{3} - 5 y + C_{3} = 4 x - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{6}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$y^{3} - 5 y + C_{3} = 4 x + \frac{- 2}{2} x^{2} + C_{6}$

خطوة 2.3.5.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$y^{3} - 5 y + C_{3} = 4 x + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C_{6}$

خطوة 2.3.5.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$y^{3} - 5 y + C_{3} = 4 x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C_{6}$

خطوة 2.3.5.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{3} - 5 y + C_{3} = 4 x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{6}$

خطوة 2.3.5.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} - 5 y + C_{3} = 4 x + \frac{- 1}{1} x^{2} + C_{6}$

خطوة 2.3.5.2.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$y^{3} - 5 y + C_{3} = 4 x - x^{2} + C_{6}$

خطوة 2.3.6

أعِد ترتيب الحدود.

$y^{3} - 5 y + C_{3} = - x^{2} + 4 x + C_{6}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y^{3} - 5 y = - x^{2} + 4 x + K$