حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$d x - (1 + 2 x \tan (y)) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 1.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = - (1 + 2 x \tan (y))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 + 2 x \tan (y))]$

خطوة 2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- (1 + 2 x \tan (y))$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [1 + 2 x \tan (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 + 2 x \tan (y)]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 2 x \tan (y)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)])$

خطوة 2.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)])$

خطوة 2.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [2 x \tan (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)]$

خطوة 2.6

بما أن $2 \tan (y)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x \tan (y)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \tan (y) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (\tan (y) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \tan (y) \cdot 1$

خطوة 2.9

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \tan (y)$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $0$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 2 \tan (y)$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = - 2 \tan (y)$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$0 = - 2 \tan (y)$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $- 2 \tan (y)$ .

$\frac{- 2 \tan (y) - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $0$ .

$\frac{- 2 \tan (y) + 0}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $1$ .

$\frac{- 2 \tan (y) + 0}{1}$

خطوة 4.3.2

اقسِم $- 2 \tan (y) + 0$ على $1$ .

$- 2 \tan (y) + 0$

خطوة 4.3.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $1$ .

$- 2 \tan (y)$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 2 \tan (y) d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - 2 \tan (y) d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \tan (y) d y}$

خطوة 5.2

تكامل $\tan (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| \sec (y) |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| \sec (y) |) + C)}$

خطوة 5.3

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| \sec (y) |)} + C$

خطوة 5.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط $- 2 \ln (| \sec (y) |)$ بنقل $- 2$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (y) |}^{- 2})} + C$

خطوة 5.4.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| \sec (y) |}^{- 2} + C$

خطوة 5.4.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| \sec (y) |}^{- 2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = \sec^{- 2} (y) + C$

خطوة 5.4.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{\sec^{2} (y)} + C$

خطوة 5.4.5

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$μ (x, y) = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)} + C$

خطوة 5.4.6

أعِد كتابة $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ بالصيغة ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ .

$μ (x, y) = {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2} + C$

خطوة 5.4.7

أعِد كتابة $\sec (y)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$μ (x, y) = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2} + C$

خطوة 5.4.8

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$μ (x, y) = {(1 \cos (y))}^{2} + C$

خطوة 5.4.9

اضرب $\cos (y)$ في $1$ .

$μ (x, y) = \cos^{2} (y) + C$

خطوة 6

اضرب $1$ في $\cos^{2} (y)$ .

$d x - (1 + 2 x \tan (y)) d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \cos^{2} (y) d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = \cos^{2} (y)$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x + g (y)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x + g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\cos^{2} (y) x + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\cos^{2} (y) x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$ .

$x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

خطوة 11.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{2}$ و $g (y) = \cos (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\cos (y)$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [\cos (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

خطوة 11.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d y} [\cos (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

خطوة 11.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (y)$ .

$x (2 \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

خطوة 11.3.3

مشتق $\cos (y)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \sin (y)$ .

$x (2 \cos (y) (- \sin (y))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

خطوة 11.3.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$x (- 2 \cos (y) \sin (y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- 2 \cos (y) \sin (y)) + \frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

خطوة 11.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} - 2 x \cos (y) \sin (y) = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

أضف $2 x \cos (y) \sin (y)$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y) + 2 x \cos (y) \sin (y)$

خطوة 12.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $- \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y) + 2 x \cos (y) \sin (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $- 2 x \sin (y) \cos (y)$ و $2 x \cos (y) \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \cos (y) \sin (y) + 2 x \cos (y) \sin (y)$

خطوة 12.1.2.2

أضف $- 2 x \cos (y) \sin (y)$ و $2 x \cos (y) \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) + 0$

خطوة 12.1.2.3

أضف $- \cos^{2} (y)$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y)$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $- \cos^{2} (y)$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \cos^{2} (y) d y$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \cos^{2} (y) d y$

خطوة 13.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (y) = - \int \cos^{2} (y) d y$

خطوة 13.4

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (y)$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ .

$g (y) = - \int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y$

خطوة 13.5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$g (y) = - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y)$

خطوة 13.6

احذِف الأقواس.

$g (y) = - \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y$

خطوة 13.7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$g (y) = - \frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y)$

خطوة 13.8

طبّق قاعدة الثابت.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \int \cos (2 y) d y)$

خطوة 13.9

لنفترض أن $u = 2 y$ . إذن $d u = 2 d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.9.1

افترض أن $u = 2 y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.9.1.1

أوجِد مشتقة $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

خطوة 13.9.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 13.9.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 13.9.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 13.9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 13.10

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

خطوة 13.11

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

خطوة 13.12

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

خطوة 13.13

بسّط.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

خطوة 13.14

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 y$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C$

خطوة 13.15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.15.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (2 y)$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C$

خطوة 13.15.2

طبّق خاصية التوزيع.

$g (y) = - \frac{1}{2} y - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

خطوة 13.15.3

اجمع $y$ و $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \frac{y}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

خطوة 13.15.4

اضرب $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.15.4.1

اضرب $\frac{\sin (2 y)}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 13.15.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$g (y) = - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

خطوة 13.16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.16.1

أعِد ترتيب الحدود.

$g (y) = - (\frac{1}{2} y) - (\frac{1}{4} \sin (2 y)) + C$

خطوة 13.16.2

احذِف الأقواس.

$g (y) = - \frac{1}{2} y - (\frac{1}{4} \sin (2 y)) + C$

خطوة 13.16.3

احذِف الأقواس.

$g (y) = - \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = \cos^{2} (y) x + g (y)$ .

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$

خطوة 15

بسّط $f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.1

اجمع $y$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{y}{2} - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$

خطوة 15.1.2

اجمع $\sin (2 y)$ و $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

خطوة 15.2

أعِد ترتيب العوامل في $f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$ .

$f (x, y) = x \cos^{2} (y) - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$