حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d r}{d t} = \frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t) + 1}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d r = \frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t) + 1} d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d r = \int \frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t) + 1} d t$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$r + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t) + 1} d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u = \tan (t) + 1$ . إذن $d u = \sec^{2} (t) d t$ ، لذا $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u = \tan (t) + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $\tan (t) + 1$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t) + 1]$

خطوة 2.3.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\tan (t) + 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [\tan (t)] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 2.3.1.1.3

مشتق $\tan (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t) + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 2.3.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\sec^{2} (t) + 0$

خطوة 2.3.1.1.4.2

أضف $\sec^{2} (t)$ و $0$ .

$\sec^{2} (t)$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$r + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$r + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\tan (t) + 1$ .

$r + C_{1} = \ln (| \tan (t) + 1 |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$r = \ln (| \tan (t) + 1 |) + C$