حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$- \frac{y^{2}}{t^{2}} d t + \frac{2 y}{t} d y = 0$

خطوة 1

أضف $\frac{y^{2}}{t^{2}} d t$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{2 y}{t} d y = \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{t}{y^{2}}$ .

$\frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{2 y}{t} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع.

$\frac{t (2 y)}{y^{2} t} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{t (2 y)}{y^{2} t} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 y}{y^{2}} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

خطوة 3.3

احذِف العامل المشترك لـ $y$ و $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $y$ من $2 y$ .

$\frac{y \cdot 2}{y^{2}} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

خطوة 3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot 2}{y \cdot y} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

خطوة 3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \cdot 2}{y \cdot y} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

خطوة 3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{y} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

خطوة 3.4

اجمع.

$\frac{2}{y} d y = \frac{t y^{2}}{y^{2} t^{2}} d t$

خطوة 3.5

احذِف العامل المشترك لـ $t$ و $t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أخرِج العامل $t$ من $t y^{2}$ .

$\frac{2}{y} d y = \frac{t (y^{2})}{y^{2} t^{2}} d t$

خطوة 3.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

أخرِج العامل $t$ من $y^{2} t^{2}$ .

$\frac{2}{y} d y = \frac{t (y^{2})}{t (y^{2} t)} d t$

خطوة 3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{y} d y = \frac{t y^{2}}{t (y^{2} t)} d t$

خطوة 3.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{y} d y = \frac{y^{2}}{y^{2} t} d t$

خطوة 3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{y} d y = \frac{y^{2}}{y^{2} t} d t$

خطوة 3.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{y} d y = \frac{1}{t} d t$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{2}{y} d y = \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 4.2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 4.2.3

بسّط.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 4.3

تكامل $\frac{1}{t}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| t |)$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \ln (| t |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$2 \ln (| y |) = \ln (| t |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$2 \ln (| y |) - \ln (| t |) = C$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط $2 \ln (| y |) - \ln (| t |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

بسّط $2 \ln (| y |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| t |) = C$

خطوة 5.2.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| y |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\ln (y^{2}) - \ln (| t |) = C$

خطوة 5.2.1.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{y^{2}}{| t |}) = C$

خطوة 5.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{y^{2}}{| t |})} = e^{C}$

خطوة 5.4

أعِد كتابة $\ln (\frac{y^{2}}{| t |}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y^{2}}{| t |}$

خطوة 5.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{y^{2}}{| t |} = e^{C}$ .

$\frac{y^{2}}{| t |} = e^{C}$

خطوة 5.5.2

اضرب كلا الطرفين في $| t |$ .

$\frac{y^{2}}{| t |} | t | = e^{C} | t |$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $| t |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2}}{| t |} | t | = e^{C} | t |$

خطوة 5.5.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = e^{C} | t |$

خطوة 5.5.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{e^{C} | t |}$

خطوة 5.5.4.2

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.2.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{e^{C} | t |}$

خطوة 5.5.4.2.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{e^{C} | t |}$

خطوة 5.5.4.2.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = - \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = - \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = - \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = - \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = - \sqrt{e^{C} | t |}$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt{C | t |}$

$y = - \sqrt{C | t |}$