حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{y}{x} d x + (y^{2} + \ln (| x |)) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{1}{x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{y}{x}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

خطوة 1.4

اضرب $\frac{1}{x}$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = y^{2} + \ln (| x |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + \ln (| x |)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} + \ln (| x |)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

خطوة 2.2.2

بما أن $y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = | x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]$

خطوة 2.3.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]$

خطوة 2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]$

خطوة 2.3.2

مشتق $| x |$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |}$

خطوة 2.3.3

اضرب $\frac{1}{| x |}$ في $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x | | x |}$

خطوة 2.3.4

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x \cdot x |}$

خطوة 2.3.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x |}$

خطوة 2.3.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x^{1} |}$

خطوة 2.3.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1 + 1} |}$

خطوة 2.3.8

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{2} |}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أضف $0$ و $\frac{x}{| x^{2} |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{| x^{2} |}$

خطوة 2.4.2

احذف الحدود غير السالبة من القيمة المطلقة.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x^{2}}$

خطوة 2.4.3

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x^{1}}{x^{2}}$

خطوة 2.4.3.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 2.4.3.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

خطوة 2.4.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

خطوة 2.4.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $\frac{1}{x}$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $\frac{1}{x}$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x} d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = \frac{y}{x}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $y$ خارج التكامل.

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = y (\ln (| x |) + C)$

خطوة 5.3

بسّط.

$f (x, y) = y \ln (| x |) + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + \ln (| x |)$

خطوة 8

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [y \ln (| x |) + g (y)] = y^{2} + \ln (| x |)$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{y}{x} d x + (y^{2} + \ln (| x |)) d y = 0$

خطوة 9.1.2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

خطوة 9.1.2.2

بما أن $\frac{1}{x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{y}{x}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 9.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

خطوة 9.1.2.4

اضرب $\frac{1}{x}$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

خطوة 9.1.3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = y^{2} + \ln (| x |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + \ln (| x |)]$

خطوة 9.1.3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} + \ln (| x |)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

خطوة 9.1.3.2.2

بما أن $y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

خطوة 9.1.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = | x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]$

خطوة 9.1.3.3.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]$

خطوة 9.1.3.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]$

خطوة 9.1.3.3.2

مشتق $| x |$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |}$

خطوة 9.1.3.3.3

اضرب $\frac{1}{| x |}$ في $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x | | x |}$

خطوة 9.1.3.3.4

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x \cdot x |}$

خطوة 9.1.3.3.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x |}$

خطوة 9.1.3.3.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x^{1} |}$

خطوة 9.1.3.3.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1 + 1} |}$

خطوة 9.1.3.3.8

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{2} |}$

خطوة 9.1.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.4.1

أضف $0$ و $\frac{x}{| x^{2} |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{| x^{2} |}$

خطوة 9.1.3.4.2

احذف الحدود غير السالبة من القيمة المطلقة.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x^{2}}$

خطوة 9.1.3.4.3

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.4.3.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x^{1}}{x^{2}}$

خطوة 9.1.3.4.3.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 9.1.3.4.3.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.4.3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

خطوة 9.1.3.4.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

خطوة 9.1.3.4.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

خطوة 9.1.4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.4.1

عوّض بـ $\frac{1}{x}$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $\frac{1}{x}$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

خطوة 9.1.4.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ تمثل متطابقة.

خطوة 9.1.5

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x} d x$

خطوة 9.1.6

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = \frac{y}{x}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.6.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $y$ خارج التكامل.

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 9.1.6.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = y (\ln (| x |) + C)$

خطوة 9.1.6.3

بسّط.

$f (x, y) = y \ln (| x |) + C$

خطوة 9.1.7

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$

خطوة 9.1.8

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + \ln (| x |)$

خطوة 9.1.9

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.9.1

بسّط $\frac{d}{d y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.9.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $d$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.9.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d}{d y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y)) = y^{2} + \ln (| x |)$

خطوة 9.1.9.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y)) = y^{2} + \ln (| x |)$

خطوة 9.1.9.1.2

اضرب $\frac{1}{y}$ في $y \ln (| x |) + g y$ .

$\frac{y \ln (| x |) + g y}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

خطوة 9.1.9.1.3

أخرِج العامل $y$ من $y \ln (| x |) + g y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.9.1.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y \ln (| x |)$ .

$\frac{y \ln (| x |) + g y}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

خطوة 9.1.9.1.3.2

أخرِج العامل $y$ من $g y$ .

$\frac{y \ln (| x |) + y g}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

خطوة 9.1.9.1.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y \ln (| x |) + y g$ .

$\frac{y (\ln (| x |) + g)}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

خطوة 9.1.9.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.9.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (\ln (| x |) + g)}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

خطوة 9.1.9.1.4.2

اقسِم $\ln (| x |) + g$ على $1$ .

$\ln (| x |) + g = y^{2} + \ln (| x |)$

خطوة 9.1.10

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| x |) - \ln (| x |) = - g + y^{2}$

خطوة 9.1.11

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| x |}{| x |}) = - g + y^{2}$

خطوة 9.1.12

ألغِ العامل المشترك لـ $| x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.12.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (\frac{| x |}{| x |}) = - g + y^{2}$

خطوة 9.1.12.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (1) = - g + y^{2}$

خطوة 9.1.13

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$0 = - g + y^{2}$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $- g + y^{2}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $0 = - g + y^{2}$ .

$\int 0 d y = \int - g + y^{2} d y$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int 0 d y$ .

$g (y) = \int - g + y^{2} d y$

خطوة 10.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$g (y) = \int - g d y + \int y^{2} d y$

خطوة 10.4

طبّق قاعدة الثابت.

$g (y) = - g y + C + \int y^{2} d y$

خطوة 10.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - g y + C + \frac{1}{3} y^{3} + C$

خطوة 10.6

بسّط.

$g (y) = - g y + \frac{1}{3} y^{3} + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) - g y + \frac{1}{3} y^{3} + C$

خطوة 12

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y^{3}$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) - g y + \frac{y^{3}}{3} + C$