حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x y + (1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} = 0$ , $y (0) = 1$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x y + 1 \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} = 0$

خطوة 1.1.1.2

اضرب $\frac{d y}{d x}$ في $1$ .

$2 x y + \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} = 0$

خطوة 1.1.2

اطرح $2 x y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} = - 2 x y$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x}$ من $\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x}$ من ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + x^{2} \frac{d y}{d x} = - 2 x y$

خطوة 1.1.3.2

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x}$ من $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} x^{2} = - 2 x y$

خطوة 1.1.3.3

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x}$ من $\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = - 2 x y$

خطوة 1.1.4

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = - 2 x y$ على $1 + x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = - 2 x y$ على $1 + x^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{- 2 x y}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.1.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{- 2 x y}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.1.4.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.1.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{1 + x^{2}} y$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{1 + x^{2}} y)$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (\frac{2 x}{1 + x^{2}} y)$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{y}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (\frac{2 x}{1 + x^{2}} y)$

خطوة 1.4.2.2

أخرِج العامل $y$ من $\frac{2 x}{1 + x^{2}} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{2 x}{1 + x^{2}})$

خطوة 1.4.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{2 x}{1 + x^{2}})$

خطوة 1.4.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x)$

خطوة 2.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.3.4

لنفترض أن $u = 1 + x^{2}$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

افترض أن $u = 1 + x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1.1

أوجِد مشتقة $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

خطوة 2.3.4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.4.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.4.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 x$

خطوة 2.3.4.1.5

أضف $0$ و $2 x$ .

$2 x$

خطوة 2.3.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

خطوة 2.3.5.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

خطوة 2.3.6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.7.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.7.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.7.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.7.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.7.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.8

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

خطوة 2.3.9

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 2.3.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) + \ln (| 1 + x^{2} |) = C$

خطوة 3.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | 1 + x^{2} |) = C$

خطوة 3.3

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$\ln (| y (1 + x^{2}) |) = C$

خطوة 3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| y \cdot 1 + y x^{2} |) = C$

خطوة 3.5

اضرب $y$ في $1$ .

$\ln (| y + y x^{2} |) = C$

خطوة 3.6

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y + y x^{2} |)} = e^{C}$

خطوة 3.7

أعِد كتابة $\ln (| y + y x^{2} |) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y + y x^{2} |$

خطوة 3.8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y + y x^{2} | = e^{C}$ .

$| y + y x^{2} | = e^{C}$

خطوة 3.8.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y + y x^{2} = \pm e^{C}$

خطوة 3.8.3

أخرِج العامل $y$ من $y + y x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{1}$ .

$y \cdot 1 + y x^{2} = \pm e^{C}$

خطوة 3.8.3.2

أخرِج العامل $y$ من $y x^{2}$ .

$y \cdot 1 + y (x^{2}) = \pm e^{C}$

خطوة 3.8.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot 1 + y (x^{2})$ .

$y (1 + x^{2}) = \pm e^{C}$

خطوة 3.8.4

اقسِم كل حد في $y (1 + x^{2}) = \pm e^{C}$ على $1 + x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.4.1

اقسِم كل حد في $y (1 + x^{2}) = \pm e^{C}$ على $1 + x^{2}$ .

$\frac{y (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{\pm e^{C}}{1 + x^{2}}$

خطوة 3.8.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{\pm e^{C}}{1 + x^{2}}$

خطوة 3.8.4.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{1 + x^{2}}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{C}{1 + x^{2}}$

خطوة 5

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $1$ عن $y$ في $y = \frac{C}{1 + x^{2}}$ .

$1 = \frac{C}{1 + 0^{2}}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{C}{1 + 0^{2}} = 1$ .

$\frac{C}{1 + 0^{2}} = 1$

خطوة 6.2

اضرب كلا المتعادلين في $1 + 0^{2}$ .

$(1 + 0^{2}) \frac{C}{1 + 0^{2}} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

خطوة 6.3

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

بسّط $(1 + 0^{2}) \frac{C}{1 + 0^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$(1 + 0^{2}) \frac{C}{1 + 0} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

خطوة 6.3.1.1.1.2

أضف $1$ و $0$ .

$(1 + 0^{2}) \frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

خطوة 6.3.1.1.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$(1 + 0) \frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

خطوة 6.3.1.1.2.2

أضف $1$ و $0$ .

$1 \frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

خطوة 6.3.1.1.2.3

اضرب $\frac{C}{1}$ في $1$ .

$\frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

خطوة 6.3.1.1.2.4

اقسِم $C$ على $1$ .

$C = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط $(1 + 0^{2}) \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$C = (1 + 0) \cdot 1$

خطوة 6.3.2.1.2

أضف $1$ و $0$ .

$C = 1 \cdot 1$

خطوة 6.3.2.1.3

اضرب $1$ في $1$ .

$C = 1$

خطوة 7

عوّض بـ $1$ عن $C$ في $y = \frac{C}{1 + x^{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $1$ .

$y = \frac{1}{1 + x^{2}}$