حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة الدالة $\frac{y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

قسّم $\frac{y^{2} + x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

قسّم الكسر $\frac{y^{2} + x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$ إلى كسرين.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x y} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

خطوة 1.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{x y} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

خطوة 1.1.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

خطوة 1.1.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

خطوة 1.1.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

خطوة 1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

خطوة 1.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{y}$

خطوة 1.2

افترض أن $\sqrt{y^{2}} = y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{y^{2}}}$

خطوة 1.3

اجمع $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ و $\sqrt{y^{2}}$ في جذر واحد.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}}$

خطوة 1.4

قسّم $\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

قسّم الكسر $\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}$ إلى كسرين.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{y^{2}}}$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{y^{2}}}$

خطوة 1.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $f (\frac{y}{x})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أعِد كتابة $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ بالصيغة ${(\frac{x}{y})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{{(\frac{x}{y})}^{2} + 1}$

خطوة 1.5.2

أعِد كتابة $\frac{x}{y}$ بالصيغة ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{{({(\frac{y}{x})}^{- 1})}^{2} + 1}$

خطوة 2

افترض أن $V = \frac{y}{x}$ . عوّض بـ $V$ عن $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{{(V^{- 1})}^{2} + 1}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ في $V = \frac{y}{x}$ .

$y = V x$

خطوة 4

استخدِم قاعدة الضرب لإيجاد مشتق $y = V x$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

خطوة 5

عوّض بقيمة $\frac{d y}{d x}$ التي تساوي $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{{(V^{- 1})}^{2} + 1}$

خطوة 6

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d V}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

بسّط $V + \sqrt{{(V^{- 1})}^{2} + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.1.1

اضرب الأُسس في ${(V^{- 1})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{- 1 \cdot 2} + 1}$

خطوة 6.1.1.1.1.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{- 2} + 1}$

خطوة 6.1.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1}{V^{2}} + 1}$

خطوة 6.1.1.1.1.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1}{V^{2}} + \frac{V^{2}}{V^{2}}}$

خطوة 6.1.1.1.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1 + V^{2}}{V^{2}}}$

خطوة 6.1.1.1.1.5

أعِد كتابة $\frac{1 + V^{2}}{V^{2}}$ بالصيغة ${(\frac{1}{V})}^{2} (1 + V^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.1.5.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $1 + V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1^{2} (1 + V^{2})}{V^{2}}}$

خطوة 6.1.1.1.1.5.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $V^{2}$ من $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1^{2} (1 + V^{2})}{V^{2} \cdot 1}}$

خطوة 6.1.1.1.1.5.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} (1 + V^{2})}{V^{2} \cdot 1}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{{(\frac{1}{V})}^{2} (1 + V^{2})}$

خطوة 6.1.1.1.1.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{V} \sqrt{1 + V^{2}}$

خطوة 6.1.1.1.1.7

اجمع $\frac{1}{V}$ و $\sqrt{1 + V^{2}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

خطوة 6.1.1.1.2

لكتابة $V$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{V}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot V}{V} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

خطوة 6.1.1.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot V + \sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

خطوة 6.1.1.1.4

اضرب $V$ في $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2} + \sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

خطوة 6.1.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d V}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1

اطرح $V$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} + \sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

خطوة 6.1.1.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.2.1

قسّم الكسر $\frac{V^{2} + \sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ إلى كسرين.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{V} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

خطوة 6.1.1.2.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $V^{2}$ و $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.2.2.1

أخرِج العامل $V$ من $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

خطوة 6.1.1.2.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.2.2.2.1

ارفع $V$ إلى القوة $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V^{1}} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

خطوة 6.1.1.2.2.2.2.2

أخرِج العامل $V$ من $V^{1}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V \cdot 1} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

خطوة 6.1.1.2.2.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V \cdot 1} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

خطوة 6.1.1.2.2.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

خطوة 6.1.1.2.2.2.2.5

اقسِم $V$ على $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = V + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

خطوة 6.1.1.2.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $V + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.3.1

اطرح $V$ من $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} + 0$

خطوة 6.1.1.2.3.2

أضف $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ و $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

خطوة 6.1.1.3

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.2.1.2

اقسِم $\frac{d V}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.2

اجمع.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

خطوة 6.1.1.3.3.3

اضرب $\sqrt{1 + V^{2}}$ في $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V x}$

خطوة 6.1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 6.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.1

اضرب $\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ في $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 6.1.4.2

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.2.1

اضرب $\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ في $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}} \sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 6.1.4.2.2

ارفع $\sqrt{1 + V^{2}}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} \sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 6.1.4.2.3

ارفع $\sqrt{1 + V^{2}}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + V^{2}}}^{1}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 6.1.4.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1 + 1}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 6.1.4.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 6.1.4.2.6

أعِد كتابة ${\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}$ بالصيغة $1 + V^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.2.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 + V^{2}}$ في صورة ${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 6.1.4.2.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 6.1.4.2.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 6.1.4.2.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.2.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 6.1.4.2.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{1}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 6.1.4.2.6.5

بسّط.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 6.1.4.3

اجمع.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

خطوة 6.1.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.4.1

أخرِج العامل $V$ من $V \sqrt{1 + V^{2}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V (\sqrt{1 + V^{2}})}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

خطوة 6.1.4.4.2

أخرِج العامل $V$ من $V x$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V (\sqrt{1 + V^{2}})}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V (x)}$

خطوة 6.1.4.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

خطوة 6.1.4.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{x}$

خطوة 6.1.4.5

اضرب $\sqrt{1 + V^{2}}$ في $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

خطوة 6.1.4.6

اضرب $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}}$ في $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \sqrt{1 + V^{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

خطوة 6.1.4.7

ارفع $\sqrt{1 + V^{2}}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} \sqrt{1 + V^{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

خطوة 6.1.4.8

ارفع $\sqrt{1 + V^{2}}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + V^{2}}}^{1}}{(1 + V^{2}) x}$

خطوة 6.1.4.9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1 + 1}}{(1 + V^{2}) x}$

خطوة 6.1.4.10

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

خطوة 6.1.4.11

أعِد كتابة ${\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}$ بالصيغة $1 + V^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.11.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 + V^{2}}$ في صورة ${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

خطوة 6.1.4.11.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{(1 + V^{2}) x}$

خطوة 6.1.4.11.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

خطوة 6.1.4.11.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.11.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

خطوة 6.1.4.11.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{1}}{(1 + V^{2}) x}$

خطوة 6.1.4.11.5

بسّط.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

خطوة 6.1.4.12

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + V^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.12.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

خطوة 6.1.4.12.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

لنفترض أن $u = 1 + V^{2}$ . إذن $d u = 2 V d V$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = V d V$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

افترض أن $u = 1 + V^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d V}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [1 + V^{2}]$

خطوة 6.2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + V^{2}$ بالنسبة إلى $V$ هو $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

خطوة 6.2.2.1.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $V$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $V$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

خطوة 6.2.2.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ هو $n V^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 V$

خطوة 6.2.2.1.1.5

أضف $0$ و $2 V$ .

$2 V$

خطوة 6.2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.4.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.4.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.4.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.4.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.6.1

أعِد كتابة $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ بالصيغة $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.6.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.6.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.6.2.3

اضرب $u^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + V^{2}$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 6.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

ارفع كل متعادل إلى القوة $2$ لحذف الأُس الكسري في الطرف الأيسر.

${({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط ${({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

خطوة 6.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

خطوة 6.3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(1 + V^{2})}^{1} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

خطوة 6.3.2.1.2

بسّط.

$1 + V^{2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

خطوة 6.3.3

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$V^{2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1$

خطوة 6.3.3.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$V = \pm \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1}$

خطوة 6.3.3.3

بسّط $\pm \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$V = \pm \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1^{2}}$

خطوة 6.3.3.3.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = \ln (| x |) + C$ و $b = 1$ .

$V = \pm \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

خطوة 6.3.3.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

خطوة 6.3.3.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

خطوة 6.3.3.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

خطوة 6.4

بسّط ثابت التكامل.

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 7

عوّض بقيمة $V$ التي تساوي $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}, - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ في $\frac{y}{x} = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد الكتابة.

$\frac{y}{x} = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 8.2

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} x = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

خطوة 8.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

خطوة 8.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

بسّط $\sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.1

ارفع $\ln (| x |) + C$ إلى القوة $1$ .

$y = \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1} (\ln (| x |) + C)} x$

خطوة 8.3.2.1.2

ارفع $\ln (| x |) + C$ إلى القوة $1$ .

$y = \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1} {(\ln (| x |) + C)}^{1}} x$

خطوة 8.3.2.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1 + 1}} x$

خطوة 8.3.2.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$y = \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2}} x$

خطوة 8.3.2.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$y = (\ln (| x |) + C) x$

خطوة 8.3.2.1.6

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \ln (| x |) x + C x$

خطوة 8.3.2.1.7

بسّط بالإبدال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.7.1

أعِد ترتيب $\ln (| x |)$ و $x$ .

$y = x \ln (| x |) + C x$

خطوة 8.3.2.1.7.2

أعِد ترتيب $x \ln (| x |)$ و $C x$ .

$y = C x + x \ln (| x |)$

خطوة 9

أوجِد قيمة $y$ في $\frac{y}{x} = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد الكتابة.

$\frac{y}{x} = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 9.2

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

خطوة 9.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

خطوة 9.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

بسّط $- \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1.1

ارفع $\ln (| x |) + C$ إلى القوة $1$ .

$y = - \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1} (\ln (| x |) + C)} x$

خطوة 9.3.2.1.2

ارفع $\ln (| x |) + C$ إلى القوة $1$ .

$y = - \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1} {(\ln (| x |) + C)}^{1}} x$

خطوة 9.3.2.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = - \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1 + 1}} x$

خطوة 9.3.2.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$y = - \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2}} x$

خطوة 9.3.2.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$y = - (\ln (| x |) + C) x$

خطوة 9.3.2.1.6

طبّق خاصية التوزيع.

$y = (- \ln (| x |) - C) x$

خطوة 9.3.2.1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - \ln (| x |) x - C x$

خطوة 9.3.2.1.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1.8.1

انقُل $\ln (| x |)$ .

$y = - 1 x \ln (| x |) - C x$

خطوة 9.3.2.1.8.2

أعِد ترتيب $- 1 x \ln (| x |)$ و $- C x$ .

$y = - C x - 1 x \ln (| x |)$

خطوة 9.4

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$y = - C x - x \ln (| x |)$

خطوة 10

اسرِد الحلول.

$y = C x + x \ln (| x |), y = - C x - x \ln (| x |)$