حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 t x \frac{d x}{d t} = x^{2} + 1$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $4 t x \frac{d x}{d t} = x^{2} + 1$ على $4 t x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $4 t x \frac{d x}{d t} = x^{2} + 1$ على $4 t x$ .

$\frac{4 t x \frac{d x}{d t}}{4 t x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 t x \frac{d x}{d t}}{4 t x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

خطوة 1.1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{t x \frac{d x}{d t}}{t x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

خطوة 1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{t x \frac{d x}{d t}}{t x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

خطوة 1.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x \frac{d x}{d t}}{x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

خطوة 1.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d x}{d t}}{x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

خطوة 1.1.2.3.2

اقسِم $\frac{d x}{d t}$ على $1$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

خطوة 1.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

خطوة 1.1.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $4 t x$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x}{x (4 t)} + \frac{1}{4 t x}$

خطوة 1.1.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x}{x (4 t)} + \frac{1}{4 t x}$

خطوة 1.1.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d x}{d t} = \frac{x}{4 t} + \frac{1}{4 t x}$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لكتابة $\frac{x}{4 t}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x}{4 t} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{4 t x}$

خطوة 1.2.2

اضرب $\frac{x}{4 t}$ في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

خطوة 1.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x + 1}{4 t x}$

خطوة 1.2.4

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x^{2} + 1}{4 t x}$

خطوة 1.3

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d x}{d t} = \frac{x^{2} + 1}{4 x} \cdot \frac{1}{t}$

خطوة 1.4

اضرب كلا الطرفين في $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4 x}{x^{2} + 1} (\frac{x^{2} + 1}{4 x} \cdot \frac{1}{t})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $\frac{x^{2} + 1}{4 x}$ في $\frac{1}{t}$ .

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4 x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{4 x t}$

خطوة 1.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x t$ .

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4 x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{4 x (t)}$

خطوة 1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4 x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{4 x t}$

خطوة 1.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{t}$

خطوة 1.5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{t}$

خطوة 1.5.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{t}$

خطوة 1.6

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} d x = \frac{1}{t} d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x = \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x = \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 2.2.2

لنفترض أن $u = x^{2} + 1$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

افترض أن $u = x^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 2.2.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.2.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.2.2.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 2.2.2.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 2.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 2.2.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$4 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 2.2.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 2.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 2.2.5.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 2.2.5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 2.2.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 2.2.5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 2.2.5.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 2.2.6

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 2.2.7

بسّط.

$2 \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 2.2.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 2.3

تكامل $\frac{1}{t}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| t |)$ .

$2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{1} = \ln (| t |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$2 \ln (| x^{2} + 1 |) = \ln (| t |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$2 \ln (| x^{2} + 1 |) - \ln (| t |) = C$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط $2 \ln (| x^{2} + 1 |) - \ln (| t |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

بسّط $2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) - \ln (| t |) = C$

خطوة 3.2.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| x^{2} + 1 |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - \ln (| t |) = C$

خطوة 3.2.1.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |}) = C$

خطوة 3.3

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |})} = e^{C}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\ln (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |}$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |} = e^{C}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |} = e^{C}$

خطوة 3.5.2

اضرب كلا الطرفين في $| t |$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |} | t | = e^{C} | t |$

خطوة 3.5.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $| t |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |} | t | = e^{C} | t |$

خطوة 3.5.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

${(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C} | t |$

خطوة 3.5.4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x^{2} + 1 = \pm \sqrt{e^{C} | t |}$

خطوة 3.5.4.2

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.2.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x^{2} + 1 = \sqrt{e^{C} | t |}$

خطوة 3.5.4.2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} = \sqrt{e^{C} | t |} - 1$

خطوة 3.5.4.2.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

خطوة 3.5.4.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

خطوة 3.5.4.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

خطوة 3.5.4.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

خطوة 3.5.4.2.5

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x^{2} + 1 = - \sqrt{e^{C} | t |}$

خطوة 3.5.4.2.6

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} = - \sqrt{e^{C} | t |} - 1$

خطوة 3.5.4.2.7

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

خطوة 3.5.4.2.8

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.2.8.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

خطوة 3.5.4.2.8.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

خطوة 3.5.4.2.8.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

خطوة 3.5.4.2.9

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$x = \sqrt{\sqrt{C | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{C | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{C | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{C | t |} - 1}$