حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x y^{2} + y - x) d x + x (x y + 1) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x y^{2} + y - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} + y - x]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y^{2} + y - x$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $x y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

خطوة 1.3.3

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

خطوة 1.4.2

بما أن $- x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 1 + 0$

خطوة 1.4.3

أضف $2 x y + 1$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 1$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x (x y + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x y + 1)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x y + 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x y + 1] + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1]) + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.4

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (y + \frac{d}{d x} [1]) + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (y + 0) + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.6

أضف $y$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x y + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x y + (x y + 1) \cdot 1$

خطوة 2.3.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1

اضرب $x y + 1$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x y + x y + 1$

خطوة 2.3.8.2

أضف $x y$ و $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y + 1$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $2 x y + 1$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 x y + 1$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y + 1 = 2 x y + 1$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$2 x y + 1 = 2 x y + 1$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x (x y + 1) d y$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = x (x y + 1)$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $x$ خارج التكامل.

$f (x, y) = x \int x y + 1 d y$

خطوة 5.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = x (\int x y d y + \int d y)$

خطوة 5.3

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $x$ خارج التكامل.

$f (x, y) = x (x \int y d y + \int d y)$

خطوة 5.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x (x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int d y)$

خطوة 5.5

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = x (x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + y + C)$

خطوة 5.6

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = x (x (\frac{y^{2}}{2} + C) + y + C)$

خطوة 5.7

بسّط.

$f (x, y) = x (\frac{x y^{2}}{2} + y) + C$

خطوة 5.8

أعِد ترتيب الحدود.

$f (x, y) = x (\frac{1}{2} x y^{2} + y) + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = x (\frac{1}{2} x y^{2} + y) + g (x)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y^{2} + y - x$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (\frac{1}{2} x y^{2} + y) + g (x)] = x y^{2} + y - x$

خطوة 8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الجمع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (\frac{x}{2} y^{2} + y) + g (x)] = x y^{2} + y - x$

خطوة 8.2.1.2

اجمع $\frac{x}{2}$ و $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x (\frac{x y^{2}}{2} + y) + g (x)] = x y^{2} + y - x$

خطوة 8.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x (\frac{x y^{2}}{2} + y) + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x (\frac{x y^{2}}{2} + y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x (\frac{x y^{2}}{2} + y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x (\frac{x y^{2}}{2} + y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \frac{x y^{2}}{2} + y$ .

$x \frac{d}{d x} [\frac{x y^{2}}{2} + y] + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

خطوة 8.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x y^{2}}{2} + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{x y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$x (\frac{d}{d x} [\frac{x y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [y]) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

خطوة 8.3.3

بما أن $\frac{y^{2}}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x y^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

خطوة 8.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (\frac{y^{2}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

خطوة 8.3.5

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x (\frac{y^{2}}{2} \cdot 1 + 0) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

خطوة 8.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (\frac{y^{2}}{2} \cdot 1 + 0) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

خطوة 8.3.7

اضرب $\frac{y^{2}}{2}$ في $1$ .

$x (\frac{y^{2}}{2} + 0) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

خطوة 8.3.8

أضف $\frac{y^{2}}{2}$ و $0$ .

$x \frac{y^{2}}{2} + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

خطوة 8.3.9

اجمع $x$ و $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{x y^{2}}{2} + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

خطوة 8.3.10

اضرب $\frac{x y^{2}}{2} + y$ في $1$ .

$\frac{x y^{2}}{2} + \frac{x y^{2}}{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

خطوة 8.3.11

أضف $\frac{x y^{2}}{2}$ و $\frac{x y^{2}}{2}$ .

$2 \frac{x y^{2}}{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

خطوة 8.3.12

اجمع $2$ و $\frac{x y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 (x y^{2})}{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

خطوة 8.3.13

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.13.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x y^{2}}{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

خطوة 8.3.13.2

اقسِم $x y^{2}$ على $1$ .

$x y^{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$x y^{2} + y + \frac{d g}{d x} = x y^{2} + y - x$

خطوة 8.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x + y = x y^{2} + y - x$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $y^{2} x$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} + y = x y^{2} + y - x - y^{2} x$

خطوة 9.1.2

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = x y^{2} + y - x - y^{2} x - y$

خطوة 9.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $x y^{2} + y - x - y^{2} x - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $x y^{2}$ و $- y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} x + y - x - y^{2} x - y$

خطوة 9.1.3.2

اطرح $y^{2} x$ من $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y - x + 0 - y$

خطوة 9.1.3.3

أضف $y - x$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y - x - y$

خطوة 9.1.3.4

اطرح $y$ من $y$ .

$\frac{d g}{d x} = - x + 0$

خطوة 9.1.3.5

أضف $- x$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $- x$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = - x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x d x$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x d x$

خطوة 10.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (x) = - \int x d x$

خطوة 10.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 10.5

أعِد كتابة $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = x (\frac{1}{2} x y^{2} + y) + g (x)$ .

$f (x, y) = x (\frac{1}{2} x y^{2} + y) - \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$f (x, y) = x (\frac{x}{2} y^{2} + y) - \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 12.1.2

اجمع $\frac{x}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = x (\frac{x y^{2}}{2} + y) - \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 12.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = x \frac{x y^{2}}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 12.3

اضرب $x \frac{x y^{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

اجمع $x$ و $\frac{x y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x (x y^{2})}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 12.3.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{1} x y^{2}}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 12.3.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{1} x^{1} y^{2}}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 12.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (x, y) = \frac{x^{1 + 1} y^{2}}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 12.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 12.4

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + x y - \frac{x^{2}}{2} + C$