حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y (y + 2 x - 2) d x - 2 (x + y) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y (y + 2 x - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (y + 2 x - 2)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = y$ و $g (y) = y + 2 x - 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [y + 2 x - 2] + (y + 2 x - 2) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 2 x - 2$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y + 2 x - 2) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (1 + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y + 2 x - 2) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.3

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (1 + 0 + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y + 2 x - 2) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.4

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (1 + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y + 2 x - 2) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.5

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (1 + 0) + (y + 2 x - 2) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \cdot 1 + (y + 2 x - 2) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.6.2

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y + (y + 2 x - 2) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y + (y + 2 x - 2) \cdot 1$

خطوة 1.3.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.8.1

اضرب $y + 2 x - 2$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y + y + 2 x - 2$

خطوة 1.3.8.2

أضف $y$ و $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 2 x - 2$

خطوة 1.3.8.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 y - 2$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = - 2 (x + y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 (x + y)]$

خطوة 2.2

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 (x + y)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x + y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.5

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + 0)$

خطوة 2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \cdot 1$

خطوة 2.6.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $2 x + 2 y - 2$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 2$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x + 2 y - 2 = - 2$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$2 x + 2 y - 2 = - 2$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $2 x + 2 y - 2$ .

$\frac{2 x + 2 y - 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $- 2$ .

$\frac{2 x + 2 y - 2 + 2}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $- 2 (x + y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $- 2 (x + y)$ .

$\frac{2 x + 2 y - 2 + 2}{- 2 (x + y)}$

خطوة 4.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $2 x + 2 y - 2 + 2$ و $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2 y - 2 + 2}{- 2 (x + y)}$

خطوة 4.3.2.2

أخرِج العامل $2$ من $2 y$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y) - 2 + 2}{- 2 (x + y)}$

خطوة 4.3.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (x) + 2 (y)$ .

$\frac{2 (x + y) - 2 + 2}{- 2 (x + y)}$

خطوة 4.3.2.4

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{2 (x + y) + 2 (- 1) + 2}{- 2 (x + y)}$

خطوة 4.3.2.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (x + y) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x + y - 1) + 2}{- 2 (x + y)}$

خطوة 4.3.2.6

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (x + y - 1) + 2 (1)}{- 2 (x + y)}$

خطوة 4.3.2.7

أخرِج العامل $2$ من $2 (x + y - 1) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x + y - 1 + 1)}{- 2 (x + y)}$

خطوة 4.3.2.8

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.8.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 (x + y)$ .

$\frac{2 (x + y - 1 + 1)}{2 (- (x + y))}$

خطوة 4.3.2.8.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (x + y - 1 + 1)}{2 (- (x + y))}$

خطوة 4.3.2.8.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x + y - 1 + 1}{- (x + y)}$

خطوة 4.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$\frac{x + y + 0}{- (x + y)}$

خطوة 4.3.3.2

أضف $x + y$ و $0$ .

$\frac{x + y}{- (x + y)}$

خطوة 4.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x + y}{- (x + y)}$

خطوة 4.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{- 1}$

خطوة 4.3.4.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{1}{- 1}$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 4.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - 1 d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق قاعدة الثابت.

$μ (x, y) = e^{- x + C}$

خطوة 5.2

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- x} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $y (y + 2 x - 2) d x - 2 (x + y) d y = 0$ في عامل التكامل $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $y (y + 2 x - 2)$ في $e^{- x}$ .

$y (y + 2 x - 2) e^{- x} d x - 2 (x + y) d y = 0$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(y \cdot y + y (2 x) + y \cdot - 2) e^{- x} d x - 2 (x + y) d y = 0$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب $y$ في $y$ .

$(y^{2} + y (2 x) + y \cdot - 2) e^{- x} d x - 2 (x + y) d y = 0$

خطوة 6.3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(y^{2} + 2 y x + y \cdot - 2) e^{- x} d x - 2 (x + y) d y = 0$

خطوة 6.3.3

انقُل $- 2$ إلى يسار $y$ .

$(y^{2} + 2 y x - 2 \cdot y) e^{- x} d x - 2 (x + y) d y = 0$

خطوة 6.4

طبّق خاصية التوزيع.

$(y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}) d x - 2 (x + y) d y = 0$

خطوة 6.5

اضرب $- 2 (x + y)$ في $e^{- x}$ .

$(y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}) d x - 2 (x + y) e^{- x} d y = 0$

خطوة 6.6

طبّق خاصية التوزيع.

$(y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}) d x + (- 2 x - 2 y) e^{- x} d y = 0$

خطوة 6.7

طبّق خاصية التوزيع.

$(y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}) d x + (- 2 x e^{- x} - 2 y e^{- x}) d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - 2 x e^{- x} - 2 y e^{- x} d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = - 2 x e^{- x} - 2 y e^{- x}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int - 2 x e^{- x} d y + \int - 2 y e^{- x} d y$

خطوة 8.2

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = - 2 x e^{- x} y + C + \int - 2 y e^{- x} d y$

خطوة 8.3

بما أن $- 2 e^{- x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 2 e^{- x}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = - 2 x e^{- x} y + C - 2 e^{- x} \int y d y$

خطوة 8.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - 2 x e^{- x} y + C - 2 e^{- x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

خطوة 8.5

بسّط.

$f (x, y) = - 2 x e^{- x} y - 2 \cdot \frac{1}{2} e^{- x} y^{2} + C$

خطوة 8.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = - 2 x e^{- x} y + \frac{- 2}{2} e^{- x} y^{2} + C$

خطوة 8.6.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$f (x, y) = - 2 x e^{- x} y + \frac{2 \cdot - 1}{2} e^{- x} y^{2} + C$

خطوة 8.6.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (x, y) = - 2 x e^{- x} y + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} e^{- x} y^{2} + C$

خطوة 8.6.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = - 2 x e^{- x} y + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} e^{- x} y^{2} + C$

خطوة 8.6.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = - 2 x e^{- x} y + \frac{- 1}{1} e^{- x} y^{2} + C$

خطوة 8.6.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$f (x, y) = - 2 x e^{- x} y - e^{- x} y^{2} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = - 2 x e^{- x} y - e^{- x} y^{2} + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x e^{- x} y - e^{- x} y^{2} + g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 2 x e^{- x} y - e^{- x} y^{2} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 2 x e^{- x} y] + \frac{d}{d x} [- e^{- x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x e^{- x} y] + \frac{d}{d x} [- e^{- x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x e^{- x} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $- 2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x e^{- x} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 y \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$- 2 y \frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

خطوة 11.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{- x}$ .

$- 2 y (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

خطوة 11.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- x$ .

$- 2 y (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

خطوة 11.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$- 2 y (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

خطوة 11.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- x$ .

$- 2 y (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

خطوة 11.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 y (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

خطوة 11.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 y (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

خطوة 11.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 y (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

خطوة 11.3.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 2 y (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

خطوة 11.3.8

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$- 2 y (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

خطوة 11.3.9

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$- 2 y (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

خطوة 11.3.10

اضرب $e^{- x}$ في $1$ .

$- 2 y (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

خطوة 11.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- e^{- x} y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

بما أن $- y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- e^{- x} y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- y^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- 2 y (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - y^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

خطوة 11.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- x$ .

$- 2 y (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - y^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

خطوة 11.4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$- 2 y (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - y^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

خطوة 11.4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- x$ .

$- 2 y (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - y^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

خطوة 11.4.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 y (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - y^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

خطوة 11.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 y (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - y^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

خطوة 11.4.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 2 y (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - y^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

خطوة 11.4.6

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$- 2 y (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - y^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

خطوة 11.4.7

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$- 2 y (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - y^{2} (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

خطوة 11.4.8

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- 2 y (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 1 y^{2} e^{- x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

خطوة 11.4.9

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$- 2 y (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + y^{2} e^{- x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

خطوة 11.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$- 2 y (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + y^{2} e^{- x} + \frac{d g}{d x} = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

خطوة 11.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 2 y (x (- e^{- x})) - 2 y e^{- x} + y^{2} e^{- x} + \frac{d g}{d x} = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

خطوة 11.6.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x} + y^{2} e^{- x} + \frac{d g}{d x} = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

خطوة 11.6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{- x} x y - 2 e^{- x} y + e^{- x} y^{2} = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

خطوة 11.6.4

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{d g}{d x} + 2 e^{- x} x y - 2 e^{- x} y + e^{- x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{- x} - 2 y e^{- x} + y^{2} e^{- x} = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اطرح $2 x y e^{- x}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} - 2 y e^{- x} + y^{2} e^{- x} = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x} - 2 x y e^{- x}$

خطوة 12.1.2

أضف $2 y e^{- x}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{- x} = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x} - 2 x y e^{- x} + 2 y e^{- x}$

خطوة 12.1.3

اطرح $y^{2} e^{- x}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x} - 2 x y e^{- x} + 2 y e^{- x} - y^{2} e^{- x}$

خطوة 12.1.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x} - 2 x y e^{- x} + 2 y e^{- x} - y^{2} e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.4.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $2 y x e^{- x}$ و $- 2 x y e^{- x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{- x} + 2 e^{- x} x y - 2 y e^{- x} - 2 e^{- x} x y + 2 y e^{- x} - y^{2} e^{- x}$

خطوة 12.1.4.2

اطرح $2 e^{- x} x y$ من $2 e^{- x} x y$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{- x} - 2 y e^{- x} + 0 + 2 y e^{- x} - y^{2} e^{- x}$

خطوة 12.1.4.3

أضف $y^{2} e^{- x} - 2 y e^{- x}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{- x} - 2 y e^{- x} + 2 y e^{- x} - y^{2} e^{- x}$

خطوة 12.1.4.4

أضف $- 2 y e^{- x}$ و $2 y e^{- x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{- x} + 0 - y^{2} e^{- x}$

خطوة 12.1.4.5

أضف $y^{2} e^{- x}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{- x} - y^{2} e^{- x}$

خطوة 12.1.4.6

اطرح $y^{2} e^{- x}$ من $y^{2} e^{- x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $0$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

خطوة 13.3

تكامل $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$g (x) = 0 + C$

خطوة 13.4

أضف $0$ و $C$ .

$g (x) = C$

خطوة 14

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = - 2 x e^{- x} y - e^{- x} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = - 2 x e^{- x} y - e^{- x} y^{2} + C$

خطوة 15

أعِد ترتيب العوامل في $f (x, y) = - 2 x e^{- x} y - e^{- x} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = - 2 x y e^{- x} - y^{2} e^{- x} + C$