حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(y x - y) d y - (y + 1) d x = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب المعادلة التفضيلية التامة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد الكتابة.

$- (y + 1) d x + (y x - y) d y = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = - (y + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (y + 1)]$

خطوة 2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- (y + 1)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y + 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y + 1]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (1 + \frac{d}{d y} [1])$

خطوة 2.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (1 + 0)$

خطوة 2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1$

خطوة 2.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

خطوة 3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = y x - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y x - y]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y x - y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y x] + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $y x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.3.3

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $- y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0$

خطوة 3.4.2

أضف $y$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

خطوة 4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $- 1$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 1 = y$

خطوة 4.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$- 1 = y$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 5

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $y$ .

$\frac{y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $- 1$ .

$\frac{y + 1}{M}$

خطوة 5.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $- (y + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $- (y + 1)$ .

$\frac{y + 1}{- (y + 1)}$

خطوة 5.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y + 1}{- (y + 1)}$

خطوة 5.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{- 1}$

خطوة 5.3.2.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{1}{- 1}$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 5.3.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $- (y + 1)$ .

$- 1$

خطوة 5.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d y}$

خطوة 6

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - 1 d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق قاعدة الثابت.

$μ (x, y) = e^{- y + C}$

خطوة 6.2

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- y} + C$

خطوة 7

اضرب كلا طرفي $- (y + 1) d x + (y x - y) d y = 0$ في عامل التكامل $e^{- y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- (y + 1)$ في $e^{- y}$ .

$- (y + 1) e^{- y} d x + (y x - y) d y = 0$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(- y - 1 \cdot 1) e^{- y} d x + (y x - y) d y = 0$

خطوة 7.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$(- y - 1) e^{- y} d x + (y x - y) d y = 0$

خطوة 7.4

طبّق خاصية التوزيع.

$(- y e^{- y} - 1 e^{- y}) d x + (y x - y) d y = 0$

خطوة 7.5

أعِد كتابة $- 1 e^{- y}$ بالصيغة $- e^{- y}$ .

$(- y e^{- y} - e^{- y}) d x + (y x - y) d y = 0$

خطوة 7.6

اضرب $y x - y$ في $e^{- y}$ .

$(- y e^{- y} - e^{- y}) d x + (y x - y) e^{- y} d y = 0$

خطوة 7.7

طبّق خاصية التوزيع.

$(- y e^{- y} - e^{- y}) d x + (y x e^{- y} - y e^{- y}) d y = 0$

خطوة 8

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - y e^{- y} - e^{- y} d x$

خطوة 9

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = - y e^{- y} - e^{- y}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + C$

خطوة 10

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + g (y)$

خطوة 11

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [(- y e^{- y} - e^{- y}) x + g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $(- y e^{- y} - e^{- y}) x + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [(- y e^{- y} - e^{- y}) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [(- y e^{- y} - e^{- y}) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [(- y e^{- y} - e^{- y}) x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $(- y e^{- y} - e^{- y}) x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [- y e^{- y} - e^{- y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [- y e^{- y} - e^{- y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- y e^{- y} - e^{- y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [- y e^{- y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ .

$x (\frac{d}{d y} [- y e^{- y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y e^{- y}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y e^{- y}]$ .

$x (- \frac{d}{d y} [y e^{- y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = y$ و $g (y) = e^{- y}$ .

$x (- (y \frac{d}{d y} [e^{- y}] + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = e^{y}$ و $g (y) = - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- y$ .

$x (- (y (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.3.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x (- (y (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.3.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- y$ .

$x (- (y (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.3.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (- (y (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.3.9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- e^{- y}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - \frac{d}{d y} [e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = e^{y}$ و $g (y) = - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.10.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- y$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [- y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.3.10.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [- y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.3.10.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- y$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.3.11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.3.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.3.13

اضرب $- 1$ في $1$ .

$x (- (y (e^{- y} \cdot - 1) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.3.14

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- y}$ .

$x (- (y (- 1 \cdot e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.3.15

أعِد كتابة $- 1 e^{- y}$ بالصيغة $- e^{- y}$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.3.16

اضرب $e^{- y}$ في $1$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.3.17

اضرب $- 1$ في $1$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) - (e^{- y} \cdot - 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.3.18

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- y}$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) - (- 1 \cdot e^{- y})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.3.19

أعِد كتابة $- 1 e^{- y}$ بالصيغة $- e^{- y}$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) - - e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.3.20

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + 1 e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.3.21

اضرب $e^{- y}$ في $1$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x (- (y (- e^{- y})) - e^{- y} + e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x (- (y (- e^{- y}))) + x (- e^{- y}) + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.5.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$x (1 (y (e^{- y}))) + x (- e^{- y}) + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.5.3.2

اضرب $y$ في $1$ .

$x (y e^{- y}) + x (- e^{- y}) + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.5.3.3

أضف $x (- e^{- y})$ و $x e^{- y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.3.3.1

أعِد ترتيب $x$ و $- 1$ .

$x y e^{- y} - 1 \cdot x e^{- y} + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.5.3.3.2

أضف $- 1 \cdot x e^{- y}$ و $x e^{- y}$ .

$x y e^{- y} + 0 + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.5.3.4

أضف $x y e^{- y}$ و $0$ .

$x y e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.5.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + e^{- y} x y = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 12.5.5

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{d g}{d y} + e^{- y} x y$ .

$\frac{d g}{d y} + x y e^{- y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

خطوة 13

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

اطرح $x y e^{- y}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y} - x y e^{- y}$

خطوة 13.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $y x e^{- y} - y e^{- y} - x y e^{- y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.2.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $y x e^{- y}$ و $- x y e^{- y}$ .

$\frac{d g}{d y} = e^{- y} x y - y e^{- y} - e^{- y} x y$

خطوة 13.1.2.2

اطرح $e^{- y} x y$ من $e^{- y} x y$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{- y} + 0$

خطوة 13.1.2.3

أضف $- y e^{- y}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

خطوة 14

أوجِد المشتق العكسي لـ $- y e^{- y}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y e^{- y} d y$

خطوة 14.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y e^{- y} d y$

خطوة 14.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (y) = - \int y e^{- y} d y$

خطوة 14.4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = y$ و $d v = e^{- y}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y)$

خطوة 14.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y)$

خطوة 14.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y)$

خطوة 14.6.2

اضرب $\int e^{- y} d y$ في $1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y)$

خطوة 14.7

لنفترض أن $u = - y$ . إذن $d u = - d y$ ، لذا $- d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.7.1

افترض أن $u = - y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.7.1.1

أوجِد مشتقة $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 14.7.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 14.7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 14.7.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 14.7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u)$

خطوة 14.8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u)$

خطوة 14.9

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$

خطوة 14.10

أعِد كتابة $- (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$ بالصيغة $- (- y e^{- y} - e^{u}) + C$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{u}) + C$

خطوة 14.11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- y$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{- y}) + C$

خطوة 14.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$g (y) = - (- y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

خطوة 14.12.2

اضرب $- (- y e^{- y})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.12.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$g (y) = 1 (y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

خطوة 14.12.2.2

اضرب $y$ في $1$ .

$g (y) = y e^{- y} - - e^{- y} + C$

خطوة 14.12.3

اضرب $- - e^{- y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.12.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$g (y) = y e^{- y} + 1 e^{- y} + C$

خطوة 14.12.3.2

اضرب $e^{- y}$ في $1$ .

$g (y) = y e^{- y} + e^{- y} + C$

خطوة 15

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + g (y)$ .

$f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + y e^{- y} + e^{- y} + C$

خطوة 16

بسّط $f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + y e^{- y} + e^{- y} + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = - y e^{- y} x - e^{- y} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$

خطوة 16.2

أعِد ترتيب العوامل في $f (x, y) = - y e^{- y} x - e^{- y} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$ .

$f (x, y) = - y x e^{- y} - x e^{- y} + y e^{- y} + e^{- y} + C$