حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2} y^{2}}{1 + x}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{1 + x} y^{2}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1 + x}{x^{2}}$ .

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1 + x}{x^{2}} (\frac{x^{2}}{1 + x} y^{2})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اجمع $\frac{x^{2}}{1 + x}$ و $y^{2}$ .

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1 + x}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} y^{2}}{1 + x}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1 + x}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} y^{2}}{1 + x}$

خطوة 1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2})$

خطوة 1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} (y^{2}))$

خطوة 1.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2})$

خطوة 1.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = y^{2}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1 + x}{x^{2}} d x = y^{2} d y$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1 + x}{x^{2}} d x = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int (1 + x) {(x^{2})}^{- 1} d x = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.1.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + x) x^{2 \cdot - 1} d x = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.1.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int (1 + x) x^{- 2} d x = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.2

اضرب $(1 + x) x^{- 2}$ .

$\int 1 x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اضرب $x^{- 2}$ في $1$ .

$\int x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.3.2

اضرب $x$ في $x^{- 2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

اضرب $x$ في $x^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int x^{- 2} + x^{1} x^{- 2} d x = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.3.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{- 2} + x^{1 - 2} d x = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.3.2.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\int x^{- 2} + x^{- 1} d x = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x^{- 2} d x + \int x^{- 1} d x = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C_{1} + \int x^{- 1} d x = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.6

تكامل $x^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$- x^{- 1} + C_{1} + \ln (| x |) + C_{2} = \int y^{2} d y$

خطوة 2.2.7

بسّط.

$- \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{3} = \int y^{2} d y$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$- \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{3} = \frac{1}{3} y^{3} + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \frac{1}{x} + \ln (| x |) = \frac{1}{3} y^{3} + C$