حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d y}{d x} = 2 x e^{x} - y + 6 x^{2}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $y$ إلى كلا المتعادلين.

$x \frac{d y}{d x} + y = 2 x e^{x} + 6 x^{2}$

خطوة 1.2

أعِد ترتيب الحدود.

$x \frac{d y}{d x} + y = 6 x^{2} + 2 e^{x} x$

خطوة 2

تحقق مما إذا كان المتعادل الأيسر هو نتيجة مشتق الحد $x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

خطوة 2.4

عوّض بقيمة $y'$ التي تساوي $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

خطوة 2.5

أعِد ترتيب $y$ و $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

خطوة 2.6

اضرب $y$ في $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x y] = 6 x^{2} + 2 e^{x} x$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 6 x^{2} + 2 e^{x} x d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x y = \int 6 x^{2} + 2 e^{x} x d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$x y = \int 6 x^{2} d x + \int 2 e^{x} x d x$

خطوة 6.2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$x y = 6 \int x^{2} d x + \int 2 e^{x} x d x$

خطوة 6.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 e^{x} x d x$

خطوة 6.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int e^{x} x d x$

خطوة 6.5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{x}$ .

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

خطوة 6.6

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

خطوة 6.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

بسّط.

$x y = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

خطوة 6.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.2.1

اجمع $6$ و $\frac{1}{3}$ .

$x y = \frac{6}{3} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

خطوة 6.7.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

خطوة 6.7.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.2.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

خطوة 6.7.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

خطوة 6.7.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x y = \frac{2}{1} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

خطوة 6.7.2.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$x y = 2 x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $x y = 2 x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $x y = 2 x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ على $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x^{3}$ .

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.1.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.1.2.5

اقسِم $2 x^{2}$ على $1$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.2

أخرِج العامل $e^{x}$ من $x e^{x} - e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1

أخرِج العامل $e^{x}$ من $x e^{x}$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (e^{x} x - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.2.2

أخرِج العامل $e^{x}$ من $- e^{x}$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (e^{x} x + e^{x} \cdot - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.1.2.3

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} x + e^{x} \cdot - 1$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (e^{x} (x - 1))}{x} + \frac{C}{x}$

$y = 2 x^{2} + \frac{2 e^{x} (x - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.2

لكتابة $2 x^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$y = \frac{2 x^{2} x}{x} + \frac{2 e^{x} (x - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{2 x^{2} x + 2 e^{x} (x - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 7.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{2 x^{2} x + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

خطوة 7.3.5

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.5.1

انقُل $x$ .

$y = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

خطوة 7.3.5.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

خطوة 7.3.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

خطوة 7.3.5.3

أضف $1$ و $2$ .

$y = \frac{2 x^{3} + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

خطوة 7.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{2 x^{3} + 2 e^{x} x + 2 e^{x} \cdot - 1 + C}{x}$

خطوة 7.3.6.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y = \frac{2 x^{3} + 2 e^{x} x - 2 e^{x} + C}{x}$

خطوة 7.3.7

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{2 x^{3} + 2 e^{x} x - 2 e^{x} + C}{x}$ .

$y = \frac{2 x^{3} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C}{x}$