حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

خطوة 2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

خطوة 3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

خطوة 4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

خطوة 5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

خطوة 5.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

خطوة 6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

خطوة 6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

خطوة 6.2.2

انقُل ${(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

خطوة 6.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

خطوة 6.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

خطوة 6.5

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

خطوة 6.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (2 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

خطوة 6.7

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

خطوة 7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = - 1$ و $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 8

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2}}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 8.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 8.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 8.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 2$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 8.4

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 8.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0)$

خطوة 8.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

اضرب $\frac{1}{x^{2}}$ في $0$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} + 2 x^{- 3} + 0)$

خطوة 8.6.2

أضف $- 2 x^{- 2} + 2 x^{- 3}$ و $0$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} + 2 x^{- 3})$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \frac{1}{x^{2}} + 2 x^{- 3})$

خطوة 9.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \frac{1}{x^{2}} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

خطوة 9.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{- 2}{x^{2}} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

خطوة 9.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{2}{x^{2}} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

خطوة 9.3.3

اجمع $2$ و $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}})$

خطوة 9.4

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}})$ .

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

لكتابة $\frac{2}{x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 {(\frac{2}{x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.5.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $x^{2}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.2.1

اضرب $\frac{2}{x}$ في $\frac{x}{x}$ .

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 {(\frac{2 x}{x \cdot x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.5.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 {(\frac{2 x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 {(\frac{2 x - 1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.5.4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2 x - 1}{x^{2}}$ .

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

خطوة 9.5.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.5.1

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.5.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}}$

خطوة 9.5.5.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.5.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}}$

خطوة 9.5.5.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{1}}}$

خطوة 9.5.5.2

بسّط.

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x}}$

خطوة 9.6

اجمع $2$ و $\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x}$ .

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{\frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x}}$

خطوة 9.7

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) (1 \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 9.8

اضرب $\frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ في $1$ .

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.9

اضرب $- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}$ في $\frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.10.1

لكتابة $- \frac{2}{x^{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(- \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{2}{x^{3}}) x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.10.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $x^{3}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.10.2.1

اضرب $\frac{2}{x^{2}}$ في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(- \frac{2 x}{x^{2} x} + \frac{2}{x^{3}}) x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.10.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.10.2.2.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.10.2.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{(- \frac{2 x}{x^{2} x^{1}} + \frac{2}{x^{3}}) x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.10.2.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{(- \frac{2 x}{x^{2 + 1}} + \frac{2}{x^{3}}) x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.10.2.2.2

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{(- \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}) x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.10.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{- 2 x + 2}{x^{3}} x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.10.4

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.10.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$\frac{\frac{2 (- x) + 2}{x^{3}} x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.10.4.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{\frac{2 (- x) + 2 (1)}{x^{3}} x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.10.4.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x) + 2 (1)$ .

$\frac{\frac{2 (- x + 1)}{x^{3}} x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.11

اجمع $\frac{2 (- x + 1)}{x^{3}}$ و $x$ .

$\frac{\frac{2 (- x + 1) x}{x^{3}}}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.12

اختزِل العبارة $\frac{2 (- x + 1) x}{x^{3}}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.12.1

أخرِج العامل $x$ من $2 (- x + 1) x$ .

$\frac{\frac{x (2 (- x + 1))}{x^{3}}}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.12.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$\frac{\frac{x (2 (- x + 1))}{x \cdot x^{2}}}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.12.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{x (2 (- x + 1))}{x \cdot x^{2}}}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.12.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{2 (- x + 1)}{x^{2}}}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.13

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{2 (- x + 1)}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.14

اجمع.

$\frac{2 (- x + 1) \cdot 1}{x^{2} (2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 9.15

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- x + 1) \cdot 1}{x^{2} (2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 9.16

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(- x + 1) \cdot 1}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 9.17

اضرب $- x + 1$ في $1$ .

$\frac{- x + 1}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 9.18

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{- (x) + 1}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 9.19

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 1)}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 9.20

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x - 1)}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 9.21

أعِد كتابة $- (x - 1)$ بالصيغة $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x - 1)}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 9.22

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x - 1}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$