حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 4 x e^{3 x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x e^{3 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{3 x}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$4 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$4 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1

اضرب $3$ في $1$ .

$4 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.4.3.2

انقُل $3$ إلى يسار $e^{3 x}$ .

$4 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1)$

خطوة 1.1.4.5

اضرب $e^{3 x}$ في $1$ .

$4 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x})$

خطوة 1.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (x (3 e^{3 x})) + 4 e^{3 x}$

خطوة 1.1.5.2

اضرب $3$ في $4$ .

$12 x e^{3 x} + 4 e^{3 x}$

خطوة 1.1.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$12 e^{3 x} x + 4 e^{3 x}$

خطوة 1.1.5.4

أعِد ترتيب العوامل في $12 e^{3 x} x + 4 e^{3 x}$ .

$f' (x) = 12 x e^{3 x} + 4 e^{3 x}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $12 x e^{3 x} + 4 e^{3 x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [12 x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x e^{3 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x e^{3 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

خطوة 1.2.2.2

$12 (x \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

خطوة 1.2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $3 x$ .

$12 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

خطوة 1.2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$12 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

خطوة 1.2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 x$ .

$12 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

خطوة 1.2.2.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

خطوة 1.2.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$12 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

خطوة 1.2.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$12 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

خطوة 1.2.2.7

اضرب $3$ في $1$ .

$12 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

خطوة 1.2.2.8

انقُل $3$ إلى يسار $e^{3 x}$ .

$12 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

خطوة 1.2.2.9

اضرب $e^{3 x}$ في $1$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 e^{3 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $3 x$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 1.2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 1.2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 1.2.3.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 1.2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

خطوة 1.2.3.5

اضرب $3$ في $1$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 (e^{3 x} \cdot 3)$

خطوة 1.2.3.6

انقُل $3$ إلى يسار $e^{3 x}$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 (3 \cdot e^{3 x})$

خطوة 1.2.3.7

اضرب $3$ في $4$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 e^{3 x}$

خطوة 1.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$12 (x (3 e^{3 x})) + 12 e^{3 x} + 12 e^{3 x}$

خطوة 1.2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

اضرب $3$ في $12$ .

$36 (x (e^{3 x})) + 12 e^{3 x} + 12 e^{3 x}$

خطوة 1.2.4.2.2

أضف $12 e^{3 x}$ و $12 e^{3 x}$ .

$36 x e^{3 x} + 24 e^{3 x}$

خطوة 1.2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$36 e^{3 x} x + 24 e^{3 x}$

خطوة 1.2.4.4

أعِد ترتيب العوامل في $36 e^{3 x} x + 24 e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 36 x e^{3 x} + 24 e^{3 x}$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $36 x e^{3 x} + 24 e^{3 x}$ .

$36 x e^{3 x} + 24 e^{3 x}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $36 x e^{3 x} + 24 e^{3 x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$36 x e^{3 x} + 24 e^{3 x} = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $12 e^{3 x}$ من $36 x e^{3 x} + 24 e^{3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $12 e^{3 x}$ من $36 x e^{3 x}$ .

$12 e^{3 x} (3 x) + 24 e^{3 x} = 0$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل $12 e^{3 x}$ من $24 e^{3 x}$ .

$12 e^{3 x} (3 x) + 12 e^{3 x} (2) = 0$

خطوة 2.2.3

أخرِج العامل $12 e^{3 x}$ من $12 e^{3 x} (3 x) + 12 e^{3 x} (2)$ .

$12 e^{3 x} (3 x + 2) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$e^{3 x} = 0$

$3 x + 2 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $e^{3 x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $e^{3 x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{3 x} = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{3 x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{3 x}) = \ln (0)$

خطوة 2.4.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 2.4.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{3 x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $3 x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $3 x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x + 2 = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $3 x + 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$3 x = - 2$

خطوة 2.5.2.2

اقسِم كل حد في $3 x = - 2$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = - 2$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

خطوة 2.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

خطوة 2.5.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

خطوة 2.5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{2}{3}$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $12 e^{3 x} (3 x + 2) = 0$ صحيحة.

$x = - \frac{2}{3}$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $- \frac{2}{3}$ في $f (x) = 4 x e^{3 x}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{2}{3}$ في العبارة.

$f (- \frac{2}{3}) = 4 (- \frac{2}{3}) \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

اضرب $4 (- \frac{2}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - 4 (\frac{2}{3}) \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

خطوة 3.1.2.1.2

اجمع $- 4$ و $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 4 \cdot 2}{3} \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

خطوة 3.1.2.1.3

اضرب $- 4$ في $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8}{3} \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

خطوة 3.1.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3} \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

خطوة 3.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{2}{3}$ إلى بسط الكسر.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3} \cdot e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

خطوة 3.1.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3} \cdot e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

خطوة 3.1.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3} \cdot e^{- 2}$

خطوة 3.1.2.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{e^{2}}$

خطوة 3.1.2.5

اضرب $\frac{1}{e^{2}}$ في $\frac{8}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{e^{2} \cdot 3}$

خطوة 3.1.2.6

انقُل $3$ إلى يسار $e^{2}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3 e^{2}}$

خطوة 3.1.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{8}{3 e^{2}}$ .

$- \frac{8}{3 e^{2}}$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- \frac{2}{3}$ في $f (x) = 4 x e^{3 x}$ هي $(- \frac{2}{3}, - \frac{8}{3 e^{2}})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- \frac{2}{3}, - \frac{8}{3 e^{2}})$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \frac{2}{3})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.7\overline{6}$ في العبارة.

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 36 (- 0.7\overline{6}) \cdot e^{3 (- 0.7\overline{6})} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

اضرب $36$ في $- 0.7\overline{6}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 27.6 \cdot e^{3 (- 0.7\overline{6})} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $3$ في $- 0.7\overline{6}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 27.6 \cdot e^{- 2.2\overline{9}} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

خطوة 5.2.1.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 27.6 \cdot \frac{1}{e^{2.2\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

خطوة 5.2.1.4

اجمع $- 27.6$ و $\frac{1}{e^{2.2\overline{9}}}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = \frac{- 27.6}{e^{2.2\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

خطوة 5.2.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - \frac{27.6}{e^{2.2\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

خطوة 5.2.1.6

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - \frac{27.6}{{2.71828182}^{2.2\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

خطوة 5.2.1.7

ارفع $2.71828182$ إلى القوة $2.2\overline{9}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - \frac{27.6}{9.97418245} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

خطوة 5.2.1.8

اقسِم $27.6$ على $9.97418245$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 1 \cdot 2.76714408 + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

خطوة 5.2.1.9

اضرب $- 1$ في $2.76714408$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 2.76714408 + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

خطوة 5.2.1.10

اضرب $3$ في $- 0.7\overline{6}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 2.76714408 + 24 e^{- 2.2\overline{9}}$

خطوة 5.2.1.11

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 2.76714408 + 24 (\frac{1}{e^{2.2\overline{9}}})$

خطوة 5.2.1.12

اجمع $24$ و $\frac{1}{e^{2.2\overline{9}}}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 2.76714408 + \frac{24}{e^{2.2\overline{9}}}$

خطوة 5.2.2

أضف $- 2.76714408$ و $\frac{24}{e^{2.2\overline{9}}}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 0.36093183$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.36093183$ .

$- 0.36093183$

خطوة 5.3

المشتق الثاني عند $- 0.7\overline{6}$ يساوي $- 0.36093183$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - \frac{2}{3})$

تناقص خلال $(- \infty, - \frac{2}{3})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \frac{2}{3}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.5\overline{6}$ في العبارة.

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 36 (- 0.5\overline{6}) \cdot e^{3 (- 0.5\overline{6})} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اضرب $36$ في $- 0.5\overline{6}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 20.4 \cdot e^{3 (- 0.5\overline{6})} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $3$ في $- 0.5\overline{6}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 20.4 \cdot e^{- 1.6\overline{9}} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

خطوة 6.2.1.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 20.4 \cdot \frac{1}{e^{1.6\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

خطوة 6.2.1.4

اجمع $- 20.4$ و $\frac{1}{e^{1.6\overline{9}}}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = \frac{- 20.4}{e^{1.6\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

خطوة 6.2.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - \frac{20.4}{e^{1.6\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

خطوة 6.2.1.6

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - \frac{20.4}{{2.71828182}^{1.6\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

خطوة 6.2.1.7

ارفع $2.71828182$ إلى القوة $1.6\overline{9}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - \frac{20.4}{5.47394739} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

خطوة 6.2.1.8

اقسِم $20.4$ على $5.47394739$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 1 \cdot 3.72674389 + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

خطوة 6.2.1.9

اضرب $- 1$ في $3.72674389$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 3.72674389 + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

خطوة 6.2.1.10

اضرب $3$ في $- 0.5\overline{6}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 3.72674389 + 24 e^{- 1.6\overline{9}}$

خطوة 6.2.1.11

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 3.72674389 + 24 (\frac{1}{e^{1.6\overline{9}}})$

خطوة 6.2.1.12

اجمع $24$ و $\frac{1}{e^{1.6\overline{9}}}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 3.72674389 + \frac{24}{e^{1.6\overline{9}}}$

خطوة 6.2.2

أضف $- 3.72674389$ و $\frac{24}{e^{1.6\overline{9}}}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 0.65766068$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $0.65766068$ .

$0.65766068$

خطوة 6.3

في $- 0.5\overline{6}$ ، المشتق الثاني هو $0.65766068$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \frac{2}{3}, \infty)$ .

تزايد خلال $(- \frac{2}{3}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(- \frac{2}{3}, - \frac{8}{3 e^{2}})$ .

$(- \frac{2}{3}, - \frac{8}{3 e^{2}})$

خطوة 8