حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{u \sqrt{3 - u^{2}}} d u$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \sqrt{3} \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d u = \sqrt{3} \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\sqrt{3} \cos (t)$ موجبة.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - {(\sqrt{3} \sin (t))}^{2}}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - {(\sqrt{3} \sin (t))}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\sqrt{3} \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - ({\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.2

اضرب في $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot 1 - ({\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.3

أخرِج العامل ${\sqrt{3}}^{2}$ من $- ({\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{3}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.4

أخرِج العامل ${\sqrt{3}}^{2}$ من ${\sqrt{3}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{3}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot (1 - (\sin^{2} (t)))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{1} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3 \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3 \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.7

أعِد ترتيب $3$ و $\cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 3}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) (\cos (t) \sqrt{3})} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

خطوة 2.2.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

خطوة 2.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{1 + 1} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

خطوة 2.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

خطوة 2.2.5

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

خطوة 2.2.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

خطوة 2.2.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\int \frac{1}{3^{\frac{2}{2}} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

خطوة 2.2.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{3^{\frac{2}{2}} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

خطوة 2.2.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{3^{1} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

خطوة 2.2.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$\int \frac{1}{3 \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

خطوة 2.2.6

اجمع $\sqrt{3}$ و $\frac{1}{3 \sin (t) \cos (t)}$ .

$\int \frac{\sqrt{3}}{3 \sin (t) \cos (t)} \cos (t) d t$

خطوة 2.2.7

اجمع $\frac{\sqrt{3}}{3 \sin (t) \cos (t)}$ و $\cos (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

خطوة 2.2.8

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

خطوة 2.2.8.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{\sqrt{3}}{3 \sin (t)} d t$

خطوة 3

بما أن $\frac{\sqrt{3}}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{\sqrt{3}}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

خطوة 4

حوّل من $\frac{1}{\sin (t)}$ إلى $\csc (t)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} \int \csc (t) d t$

خطوة 5

تكامل $\csc (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

خطوة 6

بسّط.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (\frac{u}{\sqrt{3}})$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{u}{\sqrt{3}})) - \cot (\arcsin (\frac{u}{\sqrt{3}})) |) + C$

خطوة 8

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{1}{\sqrt{3}} u)) - \cot (\arcsin (\frac{1}{\sqrt{3}} u)) |) + C$