حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{6 k (k - 1)}{n^{3}}$

خطوة 1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $2$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

خطوة 2

عوّض بالقيم في القاعدة وتأكد من الضرب في الحد الأمامي.

$(6) (\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6})$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$6 \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

خطوة 3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$n (n + 1) (2 n + 1)$

خطوة 3.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(n \cdot n + n \cdot 1) (2 n + 1)$

خطوة 3.1.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

اضرب $n$ في $n$ .

$(n^{2} + n \cdot 1) (2 n + 1)$

خطوة 3.1.3.2

اضرب $n$ في $1$ .

$(n^{2} + n) (2 n + 1)$

خطوة 3.2

وسّع $(n^{2} + n) (2 n + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$n^{2} (2 n + 1) + n (2 n + 1)$

خطوة 3.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n + 1)$

خطوة 3.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

خطوة 3.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 n^{2} n + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

خطوة 3.3.1.2

اضرب $n^{2}$ في $n$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

انقُل $n$ .

$2 (n \cdot n^{2}) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

خطوة 3.3.1.2.2

اضرب $n$ في $n^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.2.1

ارفع $n$ إلى القوة $1$ .

$2 (n^{1} n^{2}) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

خطوة 3.3.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 n^{1 + 2} + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

خطوة 3.3.1.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$2 n^{3} + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

خطوة 3.3.1.3

اضرب $n^{2}$ في $1$ .

$2 n^{3} + n^{2} + n (2 n) + n \cdot 1$

خطوة 3.3.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n \cdot n + n \cdot 1$

خطوة 3.3.1.5

اضرب $n$ في $n$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.1

انقُل $n$ .

$2 n^{3} + n^{2} + 2 (n \cdot n) + n \cdot 1$

خطوة 3.3.1.5.2

اضرب $n$ في $n$ .

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n^{2} + n \cdot 1$

خطوة 3.3.1.6

اضرب $n$ في $1$ .

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n^{2} + n$

خطوة 3.3.2

أضف $n^{2}$ و $2 n^{2}$ .

$2 n^{3} + 3 n^{2} + n$