حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{2} \ln (x)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{2} \ln (x))$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = x^{2}$ و $g (y) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x^{2}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = \ln (y)$ و $g (y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d y} [x]) + \ln (x) \frac{d}{d y} [x^{2}]$

خطوة 3.2.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d y} [x]) + \ln (x) \frac{d}{d y} [x^{2}]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x$ .

$x^{2} (\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [x]) + \ln (x) \frac{d}{d y} [x^{2}]$

خطوة 3.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{x} \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x^{2}]$

خطوة 3.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x^{2}]$

خطوة 3.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x^{2}]$

خطوة 3.3.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x^{2}]$

خطوة 3.3.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x^{2}]$

خطوة 3.3.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x}{1} \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x^{2}]$

خطوة 3.3.2.2.5

اقسِم $x$ على $1$ .

$x \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x^{2}]$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$x x' + \ln (x) \frac{d}{d y} [x^{2}]$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{2}$ و $g (y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x$ .

$x x' + \ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 3.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x x' + \ln (x) (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 3.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x$ .

$x x' + \ln (x) (2 x \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 3.6

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$x x' + \ln (x) (2 x x')$

خطوة 3.7

أعِد ترتيب الحدود.

$x x' + 2 x \ln (x) x'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$1 = x x' + 2 x \ln (x) x'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x x' + 2 x \ln (x) x' = 1$ .

$x x' + 2 x \ln (x) x' = 1$

خطوة 5.2

بسّط $x x' + 2 x \ln (x) x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط $2 \ln (x)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$x x' + x \ln (x^{2}) x' = 1$

خطوة 5.2.2

أعِد ترتيب العوامل في $x x' + x \ln (x^{2}) x'$ .

$x x' + x x' \ln (x^{2}) = 1$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $x x'$ من $x x' + x x' \ln (x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $x x'$ من $x x'$ .

$x x' \cdot 1 + x x' \ln (x^{2}) = 1$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $x x'$ من $x x' \ln (x^{2})$ .

$x x' \cdot 1 + x x' \ln (x^{2}) = 1$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $x x'$ من $x x' \cdot 1 + x x' \ln (x^{2})$ .

$x x' (1 + \ln (x^{2})) = 1$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $x x' (1 + \ln (x^{2})) = 1$ على $x (1 + \ln (x^{2}))$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $x x' (1 + \ln (x^{2})) = 1$ على $x (1 + \ln (x^{2}))$ .

$\frac{x x' (1 + \ln (x^{2}))}{x (1 + \ln (x^{2}))} = \frac{1}{x (1 + \ln (x^{2}))}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x x' (1 + \ln (x^{2}))}{x (1 + \ln (x^{2}))} = \frac{1}{x (1 + \ln (x^{2}))}$

خطوة 5.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x' (1 + \ln (x^{2}))}{1 + \ln (x^{2})} = \frac{1}{x (1 + \ln (x^{2}))}$

خطوة 5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + \ln (x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x' (1 + \ln (x^{2}))}{1 + \ln (x^{2})} = \frac{1}{x (1 + \ln (x^{2}))}$

خطوة 5.4.2.2.2

اقسِم $x'$ على $1$ .

$x' = \frac{1}{x (1 + \ln (x^{2}))}$

خطوة 6

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x (1 + \ln (x^{2}))}$