حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{3} (x) d x$

خطوة 1

أخرِج عامل $\cos^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \cos (x) d x$

خطوة 2

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\cos^{2} (x)$ بحيث تصبح $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = \sin (x)$ . إذن $d u = \cos (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = \sin (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

خطوة 3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

خطوة 3.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 3.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 3.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$u_{upper} = 1$

خطوة 3.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

خطوة 3.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} d u$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{1} d u + \int_{0}^{1} - u^{2} d u$

خطوة 5

طبّق قاعدة الثابت.

$u]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - u^{2} d u$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$u]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} u^{2} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

خطوة 8

اجمع $\frac{1}{3}$ و $u^{3}$ .

$u]_{0}^{1} - (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

خطوة 9

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احسِب قيمة $u$ في $1$ وفي $0$ .

$(1) + 0 - (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

خطوة 9.2

احسِب قيمة $\frac{u^{3}}{3}$ في $1$ وفي $0$ .

$1 + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

أضف $1$ و $0$ .

$1 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

خطوة 9.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

خطوة 9.3.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

خطوة 9.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.4.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

خطوة 9.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

خطوة 9.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

خطوة 9.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

خطوة 9.3.4.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$1 - (\frac{1}{3} - 0)$

خطوة 9.3.5

اضرب $- 1$ في $0$ .

$1 - (\frac{1}{3} + 0)$

خطوة 9.3.6

أضف $\frac{1}{3}$ و $0$ .

$1 - \frac{1}{3}$

خطوة 9.3.7

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

خطوة 9.3.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3 - 1}{3}$

خطوة 9.3.9

اطرح $1$ من $3$ .

$\frac{2}{3}$

خطوة 10

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{2}{3}$

الصيغة العشرية:

$0.\overline{6}$