حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{\sqrt{4 x + 3}}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{4 x + 3}$ في صورة ${(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ في صورة ${(4 x + 3)}^{\frac{\frac{1}{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 3)}^{\frac{\frac{1}{2}}{2}}]$

خطوة 3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}]$

خطوة 4

اضرب $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2 \cdot 2}}]$

خطوة 4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 3)}^{\frac{1}{4}}]$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ و $g (x) = 4 x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

خطوة 5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x + 3$ .

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

خطوة 6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

خطوة 7

اجمع $- 1$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

خطوة 8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

خطوة 9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

خطوة 9.2

اطرح $4$ من $1$ .

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

خطوة 10

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

خطوة 10.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و ${(4 x + 3)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{{(4 x + 3)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

خطوة 10.3

انقُل ${(4 x + 3)}^{- \frac{3}{4}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3])$

خطوة 12

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

خطوة 13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

خطوة 14

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} (4 + \frac{d}{d x} [3])$

خطوة 15

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} (4 + 0)$

خطوة 16

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

أضف $4$ و $0$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} \cdot 4$

خطوة 16.2

اجمع $\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}}$ و $4$ .

$\frac{4}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}}$

خطوة 16.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}}$

خطوة 16.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{{(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}}$