حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{\frac{1 - c x}{1 + c x}}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{\frac{1 - c x}{1 + c x}}$ في صورة ${(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = \frac{1 - c x}{1 + c x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{1 - c x}{1 + c x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{1 - c x}{1 + c x}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

خطوة 7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - c x}{1 + c x}]$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 1 - c x$ و $g (x) = 1 + c x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) \frac{d}{d x} [1 - c x] - (1 - c x) \frac{d}{d x} [1 + c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

خطوة 9

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - c x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- c x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- c x]) - (1 - c x) \frac{d}{d x} [1 + c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

خطوة 9.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (0 + \frac{d}{d x} [- c x]) - (1 - c x) \frac{d}{d x} [1 + c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

خطوة 9.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- c x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) \frac{d}{d x} [- c x] - (1 - c x) \frac{d}{d x} [1 + c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

خطوة 9.4

بما أن $- c$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- c x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- c \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c \frac{d}{d x} [x]) - (1 - c x) \frac{d}{d x} [1 + c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

خطوة 9.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c \cdot 1) - (1 - c x) \frac{d}{d x} [1 + c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

خطوة 9.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) \frac{d}{d x} [1 + c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

خطوة 9.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + c x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [c x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [c x])}{{(1 + c x)}^{2}}$

خطوة 9.8

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) (0 + \frac{d}{d x} [c x])}{{(1 + c x)}^{2}}$

خطوة 9.9

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [c x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) \frac{d}{d x} [c x]}{{(1 + c x)}^{2}}$

خطوة 9.10

بما أن $c$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $c x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $c \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) (c \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + c x)}^{2}}$

خطوة 9.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) (c \cdot 1)}{{(1 + c x)}^{2}}$

خطوة 9.12

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.12.1

اضرب $c$ في $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) c}{{(1 + c x)}^{2}}$

خطوة 9.12.2

اضرب $\frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) c}{{(1 + c x)}^{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) c}{{(1 + c x)}^{2} \cdot 2} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 9.12.3

انقُل $2$ إلى يسار ${(1 + c x)}^{2}$ .

$\frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) c}{2 \cdot {(1 + c x)}^{2}} {(\frac{1 - c x}{1 + c x})}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

غيّر علامة الأُس بإعادة كتابة الأساس في صورة مقلوبه.

$\frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} {(\frac{1 + c x}{1 - c x})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 10.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1 + c x}{1 - c x}$ .

$\frac{(1 + c x) (- c) - (1 - c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 (- c) + c x (- c) - (1 - c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 (- c) + c x (- c) + (- 1 \cdot 1 - (- c x)) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 (- c) + c x (- c) - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.6

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{- 1 c + c x (- c) - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.6.2

أعِد كتابة $- 1 c$ بالصيغة $- c$ .

$\frac{- c + c x (- c) - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.6.3

ارفع $c$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- c + c^{1} c x \cdot - 1 - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.6.4

ارفع $c$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- c + c^{1} c^{1} x \cdot - 1 - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.6.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- c + c^{1 + 1} x \cdot - 1 - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.6.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{- c + c^{2} x \cdot - 1 - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.6.7

انقُل $- 1$ إلى يسار $c^{2} x$ .

$\frac{- c - 1 \cdot (c^{2} x) - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.6.8

أعِد كتابة $- 1 c^{2}$ بالصيغة $- c^{2}$ .

$\frac{- c - c^{2} x - 1 \cdot 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.6.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{- c - c^{2} x - 1 c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.6.10

أعِد كتابة $- 1 c$ بالصيغة $- c$ .

$\frac{- c - c^{2} x - c - (- c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.6.11

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{- c - c^{2} x - c + 1 (c x) c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.6.12

اضرب $c$ في $1$ .

$\frac{- c - c^{2} x - c + c x c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.6.13

ارفع $c$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- c - c^{2} x - c + c^{1} c x}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.6.14

ارفع $c$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- c - c^{2} x - c + c^{1} c^{1} x}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.6.15

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- c - c^{2} x - c + c^{1 + 1} x}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.6.16

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{- c - c^{2} x - c + c^{2} x}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.6.17

اطرح $c$ من $- c$ .

$\frac{- 2 c - c^{2} x + c^{2} x}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.6.18

أضف $- c^{2} x$ و $c^{2} x$ .

$\frac{- 2 c + 0}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.6.19

أضف $- 2 c$ و $0$ .

$\frac{- 2 c}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.6.20

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.20.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 c$ .

$\frac{2 (- c)}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.6.20.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.20.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(1 + c x)}^{2}$ .

$\frac{2 (- c)}{2 ({(1 + c x)}^{2})} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.6.20.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- c)}{2 {(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.6.20.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- c}{{(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.6.21

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{c}{{(1 + c x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.6.22

اضرب $\frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{c}{{(1 + c x)}^{2}}$ .

$- \frac{{(1 + c x)}^{\frac{1}{2}} c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{2}}$

خطوة 10.6.23

انقُل ${(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{2} {(1 + c x)}^{- \frac{1}{2}}}$

خطوة 10.6.24

اضرب ${(1 + c x)}^{2}$ في ${(1 + c x)}^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.24.1

انقُل ${(1 + c x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} ({(1 + c x)}^{- \frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{2})}$

خطوة 10.6.24.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{- \frac{1}{2} + 2}}$

خطوة 10.6.24.3

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

خطوة 10.6.24.4

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

خطوة 10.6.24.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

خطوة 10.6.24.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.24.6.1

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

خطوة 10.6.24.6.2

أضف $- 1$ و $4$ .

$- \frac{c}{{(1 - c x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + c x)}^{\frac{3}{2}}}$