حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\log_{x} (2)$

خطوة 1

أعِد كتابة $\log_{x} (2)$ باستخدام قاعدة تغيير الأساس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

يمكن استخدام قاعدة تغيير الأساس إذا كان كل من $a$ و $b$ أكبر من 0 ولا يساويان 1، وكان $x$ أكبر من 0.

$\frac{d}{d x} [\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}]$

خطوة 1.2

عوّض بقيم المتغيرات في قاعدة تغيير الأساس باستخدام $b = e$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (2)}{\ln (x)}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $\ln (2)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{\ln (2)}{\ln (x)}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\ln (2) \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$ .

$\ln (2) \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{\ln (x)}$ بالصيغة $\ln^{- 1} (x)$ .

$\ln (2) \frac{d}{d x} [\ln^{- 1} (x)]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\ln (x)$ .

$\ln (2) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\ln (2) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\ln (x)$ .

$\ln (2) (- \ln^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 4

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\ln (2) (- \ln^{- 2} (x) \frac{1}{x})$

خطوة 5

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $\ln^{- 2} (x)$ .

$\ln (2) (- \frac{\ln^{- 2} (x)}{x})$

خطوة 5.2

انقُل $\ln^{- 2} (x)$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (2) (- \frac{1}{x \ln^{2} (x)})$

خطوة 5.3

اجمع $\ln (2)$ و $\frac{1}{x \ln^{2} (x)}$ .

$- \frac{\ln (2)}{x \ln^{2} (x)}$