حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{\infty} \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

خطوة 1

اكتب التكامل في صورة نهاية عند اقتراب $t$ من $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = - \frac{1}{x}$ . إذن $d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ ، لذا $x^{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = - \frac{1}{x}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = - 1$ و $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.1.3.3

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.1.3.3.2

اضرب $x^{- 2}$ في $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.1.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

خطوة 2.1.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.5.1

اضرب $\frac{1}{x}$ في $0$ .

$x^{- 2} + 0$

خطوة 2.1.3.5.2

أضف $x^{- 2}$ و $0$ .

$x^{- 2}$

خطوة 2.1.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = - \frac{1}{x}$ .

$u_{lower} = - \frac{1}{1}$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{lower} = - \frac{1}{1}$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$u_{lower} = - 1$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = - \frac{1}{x}$ .

$u_{upper} = - \frac{1}{t}$

خطوة 2.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - \frac{1}{t}$

خطوة 2.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- \frac{1}{t}} e^{u} d u$

خطوة 3

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} e^{u}]_{- 1}^{- \frac{1}{t}}$

خطوة 4

احسِب قيمة $e^{u}$ في $- \frac{1}{t}$ وفي $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} e^{- \frac{1}{t}} - e^{- 1}$

خطوة 5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} e^{- \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

خطوة 5.1.2

انقُل النهاية إلى الأُس.

$e^{lim_{t \to \infty} - \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

خطوة 5.1.3

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$e^{- lim_{t \to \infty} \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

خطوة 5.2

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{t}$ يقترب من $0$ .

$e^{- 0} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

خطوة 5.3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

احسِب قيمة حد $e^{- 1}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $\infty$ .

$e^{- 0} - e^{- 1}$

خطوة 5.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$e^{0} - e^{- 1}$

خطوة 5.3.2.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$1 - e^{- 1}$

خطوة 5.3.2.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{e}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$1 - \frac{1}{e}$

الصيغة العشرية:

$0.63212055 \dots$